Всемирное тяготение - Богородский А.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
и требованию, чтобы при эвклидовой метрике пространства-времени эти величины имели в галилеевых координатах нулевые значения. Возможность такого выбора величин ft выяснится ниже, когда для них будут составлены соответствующие формулы. Сравнивая (6,9,8) и (6,9,9), находим соотношение
Ve7?+ ^)=0' (6'9'10)
дх{
аналогичное закону сохранения (6,9,5) СТО. 9. Импульс и энергия поля гравитации
235
Образуем величины
Pi = j (ft +^dTt (6,9,11)
в которых интегрирование выполняется по всему пространству.
Приложим (6,9,11) к конечной механической системе. Необходимо учитывать, что Ff отличны от нуля лишь в тех областях пространства, где Т\ Ф 0, т. е. внутри тел рассматриваемой системы. Величины fi могут иметь отличные от нуля значения на всех конечных расстояниях от системы тел, но в бесконечно удаленных точках, где метрика пространства-времени является эвклидовой, они принимают, по условию, нулевые значения. Поэтому, повторяя рассуждения главы V, п. 4, можно убедиться в том, что соотношение (6,9,10) является условием постоянства четырех величин (6,9,11). Последние и представляют собой обобщенные выражения количества движения и полной энергии (массы) механической системы, отвечающие законам сохранения ОТО.
При переходе к СТО, когда ,гравитация не учитывается и метрика пространственно-временного континуума считается эвклидовой, эти выражения переходят в галилеевых координатах непосредственно в (6,9,4), а обобщенный закон сохранения (6,9,10) превращается -в (6,9,5).
Итак, в ОТО количество движения и энергия механической системы определяются не только тензором Fi, характеризующим распределение и движение тел этой системы, но и величинами ^9 которые отличны от нуля также вне тел и являются некоторой характеристикой созданного системой тел поля гравитации. Рассмотрим эти величины подробнее.
Согласно (6,9,9), имеем
дха - 2 У B1H9Jt -
Входящий в правую часть этого равенства тензор энергии-импульса выразим через компоненты метрического тензора и их производные, воспользовавшись уравнениями поля в форме (5,7,7). Выполнив подстановку, получим
dt\
а
дха r s At* 9 6
После преобразования
L ««А| МЛ ( д dL _ jM
2 S Xii дхк Д дха dqax ^ox J
(6,9,12)
dg1' _ JidSil _ I dg 236
Г лава VI. Основные следствия ОТО
основанного на известном правиле дифференцирования определителя, можно написать
д?^__1 а, д^ _dg^ ,
^ 2 S "" dxk ^ 2 ? ~~
1 „<«
= 77= Як , J7—?
где, как и в главе V (см. (5,7,2)), приняты обозначения
f-fv—* 41-$.
Теперь равенство (6,9,12) можно представить в виде
Ifiir dik п™ д dL JL п<* dL
=__д / дх dL \ , dL ах . OL К*
дха \Чк dq°x J dqGX 4k ^ dq^dx* '
Функция Лагранжа выражена через величины дах и q Поэтому, принимая во внимание очевидное соотношение
dxa dxk 9
легко видеть, что сумма двух последних членов предыдущего равенства представляет собой производную
Следовательно,
dL д /Aa г \ К д ( „х dL
Полученное уравнение эквивалентно основному условию (6,9,9), которому должна отвечать система величин t). С точностью до члена с исчезающей расходимостью решением этого уравнения является
= + (6|9Л4)
Нетрудно убедиться в том, что (6,9,14) удовлетворяет и второму условию, предусмбтренному в определении величин t): при эвкли- 9. Импульс и энергия поля гравитации
237
довой метрике пространства-времени эти величины принимают в галилеевых координатах нулевые значения.
Итак, мы нашли систему двухзначковых величин которые позволяют составить обобщенные выражения количества движения и энергии механической системы, отвечающие законам сохранения ОТО.
Необходимо подчеркнуть, что совокупность этих величин не образует тензора. Если воспользоваться определением (6,9,14) в другой системе координат, то вычисленные таким образом величины ty не будут связаны с /} обычными формулами преобразования тензора второго порядка. Для доказательства этого нет необходимости выполнять подробные вычисления. Достаточно вспомнить, что всегда имеется возможность найти систему координат, которая является галилеевой в какой-либо произвольно выбранной точке пространственно-временного континуума. Согласно определению (6,9,14), в этой точке выполняется равенство // = 0. Если бы величины t) составляли тензор, то уравнение t\ = 0 имело бы место в данной точке во всех системах координат. Между тем известно, что в общих координатах t) Ф 0, что и свидетельствует о нетензорной природе рассматриваемых величин.
Величины t) выражают влияние гравитационных взаимодействий на количество движения и энергию (массу) системы. Совокупность этих величин принято называть псевдотензором энергии-импульса гравитационного поля. Если допустить, что тензор Т) определяет количество движения и энергию системы масс (с учетом соответствующей метрики пространственно-временного континуума), то псевдотензор ^ должен определять импульс и энергию гравитационного поля этой системы. Однако такое утверждение условно. Не следует забывать, что совокупность величин fj представляет собой формальную поправку к тензору энергии-импульса, введение которой продиктовано стремлением обеспечить сохранение импульса и энергии системы гравитирую-щих масс. Нетензорный характер этой поправки не позволяет приписать ей непосредственный физический смысл, поскольку в ОТО физические величины должны иметь тензорную природу.
