Всемирное тяготение - Богородский А.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
но компенсируются. Интегрируя в пределах =F Z9 находим 2пу ? рdz —
—г
г г
= Атсу J рdz. Проекция напряженности на ось z равна —Any J pdz. о о
г
Величина Jpdz представляет собой массу m (z) среды в объеме прямого цилиндра с единичным поперечным сечением, поставленного основанием на плоскость симметрии. Разность давлений в точках z и z + dz равна dp = — Anym (z) pdz. Поэтому условие равновесия конфигурации таково:
Anym(Z)P = O. (7,1,6)
В частном случае, когда среда несжимаема, распределение гидростатического давления определяется соотношением р = = 2пур2 (h2 — г2), где h — расстояние от средней плоскости до границы конфигурации.
В астрономии интерес представляет первая из упомянутых фигур равновесия, поскольку наиболее распространенные небесные 250
Г лава Vit. Строение зве ід
тела— звезды являются сферическими конфигурациями, находящимися в равновесии в собственных гравитационных полях. Условие механического равновесия в форме (7,1,2) или (7,1,3) является одним из основных уравнений строения звезды, хотя применение его для точных расчетов требует знания ряда физических особенностей звезды. Взятое в отдельности, это уравнение позволяет составить только очень грубое представление о некоторых условиях в глубоких недрах звезды.
В уравнении (7,1,2) заменим в правой части переменную плот-
«ость ее средним значением pm =-где M и T1 — масса и ра-
4 л/" J
диус звезды. Считая, что веществом звезды является идеальный газ,
D
воспользуемся формулой Клапейрона р = — рт7\ где R — газовая постоянная, [і — молекулярный вес вещества. Проинтегрировав уравнения равновесия, получим распределение температуры
Соответствующее распределение давления находится по формуле Клапейрона, которая в данном приближении дает
"-^('-f)' Р-'Л
Snrl
Условия в центре конфигурации характеризуются температурой и давлением
T = Y^L. п = Ml. а J 9)
с ZrlR* Pc 8лг4
Для Солнца при |л = 1 эти соотношения дают Tc ^ 101 град, Pc ^ IO9 атм.
Воспользуемся условием равновесия (7,1,2) для вывода соотношения между гравитационной энергией газового шара и его тепловой энергией.
Энергия гравитационного взаимодействия массы M (г) и сферического слоя с массой dM (г) = Anr2Qdr равна — уМ ^ .
Поэтому гравитационная энергия конфигурации определяется формулой
Гі
U = - Any \ г[>М (г) dr. (7,1,10)
о
Теплота, отнесенная к единице массы идеального газа, равна
с T
, где C0 — отнесенная к молю теплоемкость при постоянном объ- 1. Фигуры равновесия тяжелой жидкости
251
еме. Согласно известному соотношению термодинамики, cv ~ у ,
где k — отношение теплоемкостей, которое служит показателем степени в законе адиабаты.
Тепловая энергия сферического слоя с массой dM (г)
tTdM W = Aj9Tr2dr=Ar2par-
Следовательно, вся конфигурация обладает тепловым запасом
Q = J^frVr. (7,1 Л 1)
a-iji
Связь между величинами UwQ определяется условием равновесия.
Внесем в (7,1,10) значение M (г) из уравнения равновесия (7,1,2). Полученное таким образом равенство
Гі
U Jr3^dr
о
проинтегрируем по частям:
{Гх Tl T1
рг3 I — 3 J r2pdr ¦ = — 12я J r2pdr.
0 0 о
Сравнивая это соотношение с (7,1,11), находим
U -{- 3 (& — 1) Q = 0. (7,1,12)
Это уравнение служит частным выражением теоремы вириала для стационарной системы.
Если газ одноатомный ^k = ,то теорема вириала принимает вид
U + 2 Q = 0 и показывает, что в случае равновесия запас теплоты газового шара составляет половину абсолютной величины его гравитационной энергии. Основываясь на этой теореме, нетрудно показать, что при гравитационном сжатии убыль полной энергии газового шара равна половине освобождающейся гравитационной энергии. Вторая половина освобождающейся энергии увеличивает запас теплоты шара, вызывая соответствующее нагревание его.
Теорема вириала позволяет получить оценку средней температуры звезды.
Согласно (7,1,11), можно написать
Гх
Q^P mR\r*Tdr. 252
Г лава Vit. Строение зве ід
Если в правой части равенства заменить переменную температуру ее средним значением Tm9 то получится
0 ^ SRM Ч 2ц
Гравитационную энергию шара вычислим по формуле (7,1,10), положив р = рт.
г/ = _ з ц*
5 T1
Внося эти значения в равенство U + 2Q = 0, найдем Tm = = , что практически не отличается от первой формулы (7,1,9)1.
2. Политропные газовые шары. Как уже сказано, условие равновесия сферической конфигурации должно быть дополнено уравнением состояния в виде независимого соотношения между гидродинамическим давлением и плотностью среды. Таким независимым соотношением во многих случаях может служить закон политропы р = Cpk9 охватывающий широкий класс термодинамических процессов в газах.
Политропный процесс в идеальном газе отвечает соотношениям
P = j-pT; р = Cpk-, O=-K-,
где Ji — молекулярный вес, V — объем одного моля, R — газовая постоянная, равная разности удельных теплоемкостей ср — с0.
Непосредственное вычисление дает pdv =--dT. Поэтому математическое выражение первого начала термодинамики dQ = cvdT + pdv приводится к виду dQ = -kc^~с{р dT и показывает, что политропный процесс в идеальном газе протекает при постоянной теплоемкости. Обозначив ее через с9 получим k = с~~ср .
