Всемирное тяготение - Богородский А.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
равен
I _ J , (3 — eQ) т
V2т (и3 — U1) Po
С той же степенью точности находим
і-з-о
о
Точное уравнение орбиты приводится к виду или
COS [ ф - фт - JjL (ф - Фт)] = - COS 2Ф - -2?. sin2 2Ф.
В правой части равенства вместо sin2 2Ф в принятом приближении можно написать sin2 (ф—фт). Поэтому, воспользовавшись
соотношением cos 2Ф = 1 ~ Pou ^ которое находится из преобразо-
ео
вания и = u1 + (и2 — ил) sin2 Ф с учетом (6,3,1), представим предыдущее уравнение в форме 2
1 . meo • 2/ \ . ^o Г 3m , J
u=zTo+ "7"(ф~Фт) + cosL9 — Фт~(ф~Фт) • или
и =-JCOS (ф - ф0 - До>), (6,3,2)
где 2
j^ = -T0 - Sin2 (ф — Фт); A® = (ф - Фт) (6>3>3) 3. Приближенное уравнение орбиты
207
В нашем приближении релятивистские орбиты двух рассматриваемых классов весьма мало отличаются от конических сечений механики Ньютона. Орбиты класса С, для которых u1 < 0 и, следовательно, е0 > 1, соответствуют гиперболам и параболам, а орбиты класса D, имеющие u1 > 0 (и, следовательно, е0 < 1 ), — эллипсам. С достаточной точностью релятивистскую орбиту можно считать коническим сечением, элементы которого мало изменяются.
Вековым эффектом обладает только орбита класса D, которую можно рассматривать как эллипс, медленно процессирующий в прямом направлении. В течение одного обращения линия апсид орбиты
поворачивается на угол До) ¦= , как это следует из (6,3,3), при
Po
ф — фт = 2я. В единицах системы CGS угол поворота
А0> = с*аТ~е*) • <6'3'4>
где а, е — большая полуось и эксцентриситет орбиты, M — масса центрального тела.
Для планет Солнечной системы формула (6,3,4) дает следующие эффекты за столетие:
Меркурий 43",0 Венера 8",6
Земля 3",8
Марс 1 \\
Наибольший эффект наблюдается у Меркурия — ближайшей к Солнцу планеты, имеющей орбиту со сравнительно большим эксцентриситетом. Для Венеры релятивистское перемещение перигелия остается еще значительным, но малая эксцентричность ее орбиты ухудшает точность определения перигелия, вследствие чего сравнение теоретических результатов с наблюденными становится менее уверенным. В еще большей степени это относится к Земле.
В главе II приведены современные оценки невязки между наблюдаемым движением линии апсид планетной орбиты и результатами вычислений, выполненных на основе ньютоновой теории возмущений. Сравнивая их (см. 2,1,6) со значениями, вычисленными пофор-муле (6,3,4), можно с уверенностью сказать, что основной вывод релятивистской задачи Кеплера хорошо согласуется с данными астрономических наблюдений.
Для проверки формулы (6,3,4) может представить интерес астероид Икар, имеющий весьма малое среднее расстояние от Солнца (1,077 а. е.) и отличающийся большой эксцентричностью орбиты (е = 0,8265). Согласно (6,3,4), вековое перемещение перигелия этой малой планеты должно составить около 10". Однако вследствие недостаточности наблюдений проверить этот эффект пока невозможно. 208
Г лава VI. Основные следствия ОТО
4. Движение спутника вращающейся планеты. В механике Ньютона поле тяготения со сферическим распределением массы не за-івисит от его вращения вокруг оси, проходящей через центр распределения. В ОТО такое вращение нарушает центральную симметрию поля. Поле гравитации однородного шара, вращающегося вокруг диаметра (см. главу V), симметрично относительно оси вращения и зависит не только от массы, но также от угловой скорости « радиуса шара. Поэтому, с точки зрения ОТО, в движении спутника должны наблюдаться особенности, зависящие от вращения планеты. Впервые эти эффекты изучались еще Ленсе и Тиррингом в І918 г. 13].
Рассмотрим вековые эффекты ОТО в элементах орбиты спутника, движущегося вокруг вращающейся планеты. Исследование производится по методу вариации элементов [41.
Уравнения движения спутника можно написать в виде
** J- Г4 dx° \ d*a dx? П- „ 1 9 Q
где Xа — пространственные координаты, Tkll- — символы Кристофеля, отвечающие данному полю гравитации.
Введем декартову планетоцентрическую систему координат х1 = = xt X2 = yt X8 = 2, ориентированную таким образом, чтобы плоскость ху совпадала с плоскостью экватора планеты, а ось z была направлена по оси вращения. Компоненты метрического тензора представим в форме gif = 8ц -ь hilt где Ьц соответствуют гали-деевым координатам СТО, а ha характеризуют уклонение метрики пространства-времени от геометрии Эвклида. С необходимой точностью эти величины получены в предыдущей главе при интегрировании уравнений поля для однородного вращающегося шара; они определяются формулами (5,16,5).
Составляя уравнения движения в развернутой форме, потенциал ф будем считать величиной первого порядка малости, а составляющие скорости — порядка— . Легко видеть, что в уравнениях движения член первого порядка содержится только в Г°4 и входит
1 dSu ^r -
B--J=-. Поскольку главный переменный член в g44, согласно
(5,16,5), равен —2ф, в уравнениях движения содержатся члены ,
соответствующие ньютонову приближению. Поэтому закон движения можно представить в виде
= 0=1,2,3, (6,4,1) 4. Движение спутника вращающейся планеты
