Всемирное тяготение - Богородский А.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
г?/ = 0; П/= j^l= Itr—J-/ -?-;
Ti — 1 О-" dft*
2 S
в которых /, /, k — различные фиксированные индексы.
Внося эти значения в закон движения и принимая во внимание, кто компоненты метрического тензора не зависят от времени, приведем уравнения движения частицы к виду
d I Sca dx° \ 1 dgа* ( dy* \2 "dt -dT) - дх°~ [-dT) = (6Л'1} 192
Г лава VI. Основные следствия ОТО
Положим x1 = г, x2 = 8, x3 = ф и найдем первые интегралы уравнений движения.
Последнее уравнение системы (6,1,1), соответствующее G = 3, непосредственно интегрируется и дает
где C1 — постоянная интегрирования. При 0 = 2 находим
тИ'-^Г'т}-''*" <>«*<>><
Г (*)"-«•
Если внести сюда соотношение (6,1,2), то после интегрирования получится
где C2 — новая постоянная интегрирования.
С помощью уравнения (6, 1, 3) нетрудно убедиться в том, что задача Кеплера в ОТО, как и в механике Ньютона, является плоской. Действительно, выбрав систему координат таким образом, чтобы в начальный момент движение происходило в плоскости
0 === Y, т. е. чтобы при t = t0 выполнялись условия 0 = Y; ^jfr=O9
получим из (6,1,3) Ci = CjL В этих координатах уравнение (6,1.3) принимает следующий вид:
/ dd \2 Cf
и показывает, что вообще 0 = const = —. Вместо (6, 1, 2) имеем
-S--M1-jT-)- ^
Первое уравнение системы (6,1,1), соответствующее а = 1, более сложно. Его интеграл удобнее получить из квадратической формы Шварцшильда (5,8,6), найдя предварительно связь между дифференциалом временной координаты и элементом собственного времени.
Воспользуемся уравнениями четырехмерной геодезической линии в общей форме (4,7,2). Для временной координаты
d*t , р4 dxa dx* Л /. Задача Кеплера
193
Согласно приведенным формулам, из входящих в это уравнение символов Кристофеля могли бы отличаться от нуля следующие:
р4 _ 1 44 dgu . р4 __ 1 ^44 dSqq . р4 __ 1 44 dg^
Аа~~Т& I^T' Ааа---^ •
Однако два последние исчезают вследствие стационарности поля; от нуля отличаются только символы
р4 _ 1 ^lng44 Поэтому уравнение для временной координаты
принимает вид
-S-+ Л-f. .--о
m d\ng44 dt __Q ds1 ' ds ds
и после интегрирования дает
.«-АІІ—*і-)"', (6,,,5)
где ft — постоянная интегрирования.
Согласно квадратической форме Шварцшильда (5, 8, 6), производные пространственных координат по времени связаны соотношением
+ I--SL.
Внося сюда найденные значения производных, получим
(4)'-('-?)'{•-(•+?)}¦
Это равенство и представляет собой первый интеграл уравнения а = 1.
Составим дифференциальное уравнение орбиты С этой целью разделим (6, 1, 6) на возведенное в квадрат соотношение (6,1,4).
Введя переменную и = |и положив С? = , найдем после очевидных преобразований
/ du \2 h2 — 1 , 2m 2 і о а * тч
[Hf) =—+ +2гпи- (6'Ь7)
13 А. Ф. Богородский 194
Г лава VI. Основные следствия ОТО
На достаточно большом расстоянии от центра поля последний член правой части весьма мал. Если его опустить, то равенство (6,1,7) перейдет в уравнение конического сечения, фокальный параметр и эксцентриситет которого определяются формулами
O = Vl +?-(0-1)- (6.1.8)
Различие между релятивистской и ньютоновой орбитами обусловлено членом 2пш3. На больших расстояниях от центра поля гравитации этот член вызывает лишь незначительное уклонение от обычной кеплеровой орбиты, тогда как вблизи центра он играет очень важную роль, определяя орбиты новых классов.
Прежде чем перейти к общему исследованию уравнения орбит, рассмотрим простой частный случай, который в дальнейшем предполагается исключенным. Пусть а = 0. Вместо (6,1,4) и (6,1,6) имеем
(тН'-^Н'-тИ'-Я- <6-''9>
Первое из этих уравнений показывает, что орбита представляет собой прямую линию, совпадающую с радиальным направлением. Второе уравнение определяет зависимость между переменными г, t. Если в начальный момент частица покоится в точке г0, то при падении ее скорость изменяется по закону
HHs=O-^ri1-O-")('-?!
С приближением к центру поля скорость частицы возрастает и при г = 6/72 ^l H- 1 6т достигает максимума, равного
2 { 2т \ 2 —— (1 — — і ~ ——. В дальнейшем скорость уменьшается, стре-з у з \ го / 3^3
мясь к нулю при г 2т. Заметим еще, что в случае h < 1 орбита представляет собой конечный отрезок радиального направления
2т
между точками г = 2т и г = уц^г » тогда как при h > 1 она с одной стороны ограничена гравитационной поверхностью г = 2т и простирается до бесконечности.
Переходим к общей классификации орбит.
Входящий в уравнение (6,1,7) полином
«»>-«•+ -в1 (6-1Л0>
для вещественных точек орбиты может принимать только положительные или нулевые значения. Поэтому необходимо найти интер- 1. Задача Кеплера
195
валы значений переменной и, отвечающие условиям 0 < и < / (и) > 0. 2т
Полином f (и) может иметь один вещественный корень u1 ИЛИ три u1 < u2 < и3. Введем обозначения
«1.2 = T-J-+ + P. (6.М1)
Подробное исследование полинома (6,1,10) позволяет определить исфмые интервалы переменной и при различных предположениях относительно постоянных А, а. Эти интервалы приводятся в табл. 1. В дальнейшем принята следующая классификация орбит.
