Всемирное тяготение - Богородский А.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
Следует подчеркнуть, что этот вывод является результатом приближенного интегрирования уравнений поля. В общем виде вопрос о скорости распространения гравитации требует соответствующего анализа точной формы уравнений поля; он оказывается очень сложным и принадлежит к числу еще нерешенных задач ОТО.
В главе II мы подробно рассмотрели трудности, возникавшие в небесной механике при попытках отказа от гравитационного дальнодействия в теории Ньютона. Упоминался также основной результат анализа Пуанкаре, доказавшего, что, с точки зрения СТО, отказываясь от принципа дальнодействия, необходимо одновременно изменить форму закона тяготения, и притом таким образом, что результирующие эффекты будут иметь порядок тогда как возмущения порядка исчезнут. Теперь мы можем вернуться к обсуждению этого вопроса с точки зрения ОТО. 12* 183
Г лава V. Общая теория относительности
Рассмотрим движение частицы в поле тяготения системы тел с массами ms, движущихся по законам as (/), bs(t), cs (t). Движение частицы происходит по принципу геодезической линии, уравнения которой имеют вид (4,7,6). Положив, что Xа при о = 1, 2, 3 являются пространственными координатами х, у, z соответственно, а дс4 — временем можно написать эти уравнения в форме
(Px0 , (Тю TM dx° \ dxa dxt
dt*
3
Возмущения Лапласа имеют, как мы видели, порядок у и определяются членами, содержащими произведения потенциала на составляющие скоростей. Поскольку символы Кристофеля имеют порядок не ниже первого, в нашем приближении уравнения геодезической линии следует писать в виде
J2jf0. і га — О
dp » * 44
Развернутое выражение символа Кристофеля
г° — 1 лао / dg4a і ^40 dSa \ { dt +
и решение (5,13,9) показывают, что с точностью до членов порядка 3
включительно эта уравнения сводятся к следующим:
-Sl-^5'15'1)
Входящая сюда последняя компонента метрического тензора определяется формулой (5,14,8). С помощью разложения
(• + -S-+(¦*•)¦
представим второй член формулы (5,14,8) в виде
_9 Y mS I 9 Y mS drS__9 ^ mS _ (-rs \2
lZ г, (в) ^lZ rs (O) ае" z Z м Є) (Ж)'
В двух последних суммах этого выражения, согласно (5,13,3) и (5,13,5), можно принять
1___Lfi м • ^J- — IfJ- _ г d^rs
г5ф) ~ rs[l dt )' дд ~ dt rS dt* • 16. Внешнее решение для однородного вращающегося шара
181
Выполнив эти подстановки и необходимые вычисления, получим
г.. - t - 2 2 ^er + 2 2 (т -j^) +
+ 2(2i)'-22^- (5,15,2)
Второй член соотношения (5, 15, 2) содержит ньютонов потенциал с учетом запаздывания; третий и последний выражают зависимость метрического тензора от движения масс, создающих поле тяготения. С точностью до величин порядка -у включительно имеем
ft-- '-2Ilw + 2I-^T
И в данном приближении, кроме запаздывания, как видим, необходимо учитывать зависимость поля от движения масс. Внеся в (5,15,3) соотношение
_= —/1
'.(в) rs I1 + dt /'
находим g44 = 1 — 2<р, где <p — обычный ньютонов потенциал, вычисленный без учета запаздывания. Принцип геодезической линии (5,15,1) переходит при этом в закон движения Ньютона
-^--A а- 1 2 3
Таким образом, и с точки зрения ОТО эффект запаздывающего потенциала в рассматриваемом приближении компенсируется зависимостью поля гравитации от движения создающих его масс. Как указывал Пуанкаре, новые эффекты, выражающие отступление от закона движения Ньютона, могут иметь порядок не ниже второго
16. Внешнее решение для однородного вращающегося шара В механике Ньютона поле тяготения однородного шара не зави сит от его вращения вокруг диаметра и удовлетворяет условию сфе рической симметрии. В ОТО вращение шара нарушает централь ную симметрию поля. Внешнее поле гравитации сферического не бесного тела обладает симметрией относительно оси вращения и зависит не только от массы, но также от угловой скорости и радиуса тела.
Найдем внешнее решение уравнений поля для однородного шара радиуса Ri вращающегося с постоянной угловой скоростью' ю 1251. Ось Oz системы координат направим вдоль оси вращения тела, плоскость ху совместим с плоскостью его экватора. Принимая обычное разложение gif = б/у + кц, воспользуемся решением Эйнштейна. Имея в виду последующее приложение, величину /I44 будем 182
Г лава V. Общая теория относительности
искать с точностью до членов второго порядка включительно, тогда как в остальных кц сохраним только члены первого порядка. Член второго порядка в Zi44 найдем без учета вращения, поскольку при обычных угловых скоростях небесных тел оно вносит в этот член пренебрежимую поправку.
Согласно решению Эйнштейна (5,10,8), величины ha определяются формулами
Ai/ - - 4 J(Та - 4 б<'г) dx~ <5' 16>
Знак запаздывания опущен, так как при сделанных предположениях поле тензора энергии-импульса, а следовательно, и поле метрического тензора стационарны. Через г' обозначено расстояние внешней точки Xf у, г от элемента объема dx, помещенного во внутренней точке X9t if, Z'. Интегрируем по объему тела.
Обозначим через Xf9 у\ Zt составляющие скорости элемента вещества шара. Ковариантные компоненты тензора энергии-импульса с достаточной для наших целей точностью определяются формулами
