Всемирное тяготение - Богородский А.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
2. Закон тяготения в форме В конце прошлого сто-
летия Зеелигер 111] подробно рассмотрел так называемый гравитационный парадокс, возникающий при попытке распространить закон тяготения Ньютона на бесконечное пространство, заполненное материей с конечной плотностью. Естественно допустить, что гравитационный потенциал, обусловленный космическими массами, наполняющими мировое пространство, является величиной конечной, а производные от него по координатам имеют в среднем нулевые значения. Между тем, несложные вычисления показывают, что при соблюдении точной формы закона тяготения Ньютона указанные условия выполняются лишь в том случае, если во всех направлениях от выбранной точки плотность космических масс убывает с расстоянием быстрее, чем г"""2. Представление о бесконечном пространстве с конечной во всех его частях плотностью космических масс оказывается, таким образом, несовместимым с законом тяготения Ньютона. Это заключение и получило название космологического парадокса Зеелигер а.
Придерживаясь концепции бесконечной Вселенной, заполненной веществом с конечной плотностью, можно устранить парадокс Зеелигера, отказавшись от точной формы закона Ньютона. В частности, это можно осуществить, заменив закон обратных квадратов 2. Закон тяготения в форме -ї^- е
39
формулой, применявшейся еще Лапласом 112]:
f = --^!*-* (2,2,1)
где А — некоторая положительная постоянная.
Наличие экспоненциального множителя обеспечивает сходимость интегралов и тем самым устраняет гравитационный парадокс. В то же время при достаточно малом А формула (2,2,1) в случае не очень больших расстояний мало отличается от закона Ньютона; ее применение не внесет существенных изменений в выводы небесной механики и приведет лишь к небольшим дополнительным эффектам.
Пусть Ar 1. С достаточной точностью (2,2,1) принимает вид
f =--^lO-Иг, (2,2,2)
совпадая с (2,1,1) при є = —А, п = — 1.
Для применения (2,2,2) к задаче двух тел можно воспользоваться результатами, полученными в случае закона Клеро. Основываясь на вычислениях, выполненных в предыдущем параграфе, приходим к заключению, что большая полуось и эксцентриситет только периодически изменяются, тогда как линия апсид медленно вращается в плоскости орбиты. В течение одного обращения эта линия поворачивается на угол
Aco = {(1 - «У - 1 + *}, (2,2,3)
как это следует из (2,1,4) при указанных значениях постоянных є и п.
Пренебрегая более высокими степенями эксцентриситета, эту формулу можно написать в виде
Aco = nah J1 — 4" (2'2'4)
Для оценки постоянной А отождествим этот эе})фект с наблюдаемой невязкой в движении перигелия Меркурия. Внеся А (о = 5,0 х X Ю~7 в (2,2,4) и выполнив необходимые вычисления, найдем A = 2,8 - IO""20 см~{. При этом произведение Ar в пределах Солнечной системы остается достаточно малым; даже для Плутона оно составляет лишь около 1,6 . IO^5, обеспечивая достаточную точность представления закона (2,2,1) в е}юрме разложения (2,2,2).
Неприемлемость рассматриваемого закона связана прежде всего с тем обстоятельством, что е}юрмула (2,2,4) не соответствует известным невязкам в движении линий апсид. Для Луны получается пренебрежимая величина (около T . IO""6 за одно обращение). 40
Г лава II. Попытки уточнения закона Ньютона
Однако применение (2,2,4) к планетам приводит к слишком большим значениям эффекта. Для Венеры и Земли получается соответственно 32" и 27" в столетие, что невозможно примирить с величинами (2,1,6), выведенными из наблюдений.
3. Закон тяготения Холла. Обсуждение проблемы движения перигелиев планетных орбит связано с еще одной попыткой уточнения закона Ньютона. В 1894 г. Холл исследовал эту задачу на основе закона тяготения ИЗ]
f = -^rr, (2,3,1)
где а — малая положительная поправка, уточняющая обычный закон обратных квадратов.
По Холлу, удовлетворительное объяснение невязки в движении линии апсид орбиты Меркурия получается при а = 1,574 • IO""7. Почти одновременно с Холлом закон (2,3,1) изучал также Нью-комб 114].
Представим закон (2,3,1) в форме, более удобной для последующих вычислений.
Произведем разложение
JX , , aln T (а In г)2
Г = 1 H—п--1--2
и, считая поправку а достаточно малой, сохраним член только первого порядка относительно величины а In г. Вместо (2,3,1) в этом приближении можно написать
f = - -^-Г+^^Г. (2,3.2)
Приложим этот закон к задаче двух тел.
Уравнение относительного движения имеет вид
ІPr у (М 4- т) _ ay (М + т)\пг
dt 2 + Г3 Г— Г3 Г
Оно показывает, что, кроме ньютонового притяжения, на движущееся тело действует отталкивательное возмущающее ускорение. Радиальная проекция этого ускорения находится из соотношения
r2R = ay (М + т) In г. (2,3,3)
Проекции ускорения на перпендикуляр к радиусу-вектору и на нормаль к плоскости орбиты имеют нулевые значения.
Обратимся к общим уравнениям (1,6,3), определяющим изменение оскулирующих элементов со временем. Внося в них W = 3. Закон тяготения Холла
41
= S = Oh равенство (2,3,3), после интегрирования по полярному углу получим
