Уравнение поля Эйнштейна и их применение в астрономии - Богородский А.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
словами, значения компонент тензора энергии-импульса обусловливают метрический тензор с некоторым запозданием. При этом величина запоздания равна промежутку времени, в течение которого процесс, распространяющийся со световой скоростью, передается на соответствующее расстояние. Таким образом, мы приходим к заключению, что в теории относительности принцип дальнодействия не имеет места и передача гравитации происходит со скоростью света.
Попытки отказа от принципа дальнодействия неоднократно производились в классической теории задолго до возникновения теории относительности. Однако успеха они не имели. Впервые, по-видимому, ещё Лаплас [601 показал, что дополнение теории Ньютона принципом конечной скорости передачи гравитации приводит к значительным трудностям. Так, например, в задаче двух тел этот принцип требует введения дополнительной компоненты
силы, направленной по касательной к орбите и равнойу—^9 где
V — относительная скорость, с — скорость распространения тяготения. Учет этой силы усложняет задачу двух тел, вызывая, в частности, вековое увеличение среднего расстояния.
Можно поставить вопрос о нижней границе скорости с, при которой влияние дополнительной компоненты силы не будет явно противоречить данным астрономических наблюдений. Лаплас нашел, что для согласования теории с наблюдаемым движением Луны необходимо постулировать чрезвычайно большую скорость распространения гравитации, допустив, что она превосходит скорость света не менее чем в сто миллионов раз. Более поздние исследователи, например Оппольцер [61], Леман [62] и др., изучавшие влияние дополнительной компоненты силы на движение Луны, планет и комет, приходили к несколько иным оценкам нижней границы с. Однако во всех случаях эта граница оказывалась в огромное число раз больше скорости света.
Это заключение, которое мы будем называть парадоксом Лапласа, является результатом одностороннего обобщения закона тяготения Ньютона. С точки зрения теории относительности дополнение закона тяготения Ньютона одним лишь принципом конечной скорости гравитации недопустимо, так как поле метрического тензора обусловлено не только геометрией, но также кинематикой масс. Уже решение (II, 4,2) показывает, что эффекты, вызываемые кинематикой масс и конечной скоростью гравитации, имеют одинаковые порядки, вследствие чего уточнение теории Ньютона путем учета лишь одного из этих эффектов является ошибочным.
Рассмотрим вопрос несколько подробнее. Пусть частица движется в поле системы точечных масс ms, координаты as, bst cs
го которых представляют собой заданные функции времени. Это движение определяется уравнением геодезической линии, которая в данном случае должна быть аппроксимирована с точностью до 3
членов порядка у включительно.
Согласно решению (II, 8,10) в данном приближении имеем
2Ikw + 2Sttt- f».*.»
где
r*s = (x — ClsY + (У- bs)Iа + (2- csy, Г! (fl) = [X - as WJ2 + [у - bs (?)]2 + [2 - cs (ft)]2, ft = t - rs (ft).
Первый член правой части формулы (II, 9,1) представляет собой запаздывающий потенциал, отличающийся от ньютонианского потенциала поправкой за конечную скорость передачи гравитации. Второй член определяет зависимость компоненты g44 от движения гравитационных масс.
Воспользовавшись очевидными соотношениями
aS (ft) = as (іt) — rsas (t) и т. д. с принятой степенью точности, получим
т, те і дге . дгс . дг
= T1 +1Г-І + XT
М*>~ rS ^ rS 1<Ч S "r^s ' ^
ms drS _ ws ' ,drS ; , ^S „
"77 at - Ti + +
з
Таким образом, с точностью до членов порядка включительно имеем
1
— у A44 =Xj-TT •
С другой стороны, уравнения геодезической линии, написанные в форме (I, 3, 16), приводятся в том же приближении к виду
сРх1 д ( 1 ,
-Al44 I
dt2 дх1 [ 2
Следовательно, движение частицы в поле рассматриваемых точечных масс происходит по закону Ньютона
Ci2Xi _ _д_
dt2 ^dxi
23
В данном приближении эффект запаздывающего потенциала компенсируется зависимостью поля гравитации от движения масс,
91 чем и устраняется порядок Лапласа. Уклонение движения частицы от закона Ньютона обнаруживается в теории относительности лишь в том случае, если исследование производится с точностью до членов не ниже второго порядка.
§ 10. Соотношение между массой и энергией
Соотношение между массой и энергией выводится в специальной теории относительности из законов сохранения массы и количества движения. Покажем, что в общей теории относительности это соотношение также имеет место и является следствием закона сохранения тензора энергии-импульса и уравнений поля [631.
Рассмотрим изолированную систему тел, движущихся по законам механики Ньютона. Пусть собственные массы тел будут ms, собственные плотности — q0s» скорости движения — Vs. Предположим, что размеры тел достаточно малы по сравнению с расстояниями между ними.
В главе 1 мы видели, что полная масса изолированной системы определяется формулой
т = \ jj (F* + t\) dxdydz, (II,10,1)
в которой F44 — последняя из смешанных компонент плотности тензора энергии-импульса, равная
