Уравнение поля Эйнштейна и их применение в астрономии - Богородский А.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
68 Естественно спросить, каким образом понятие однородного поля тяжести можно обобщить в теории относительности. Требуется найти решение уравнений поля, которое могло бы служить релятивистским обобщением соответствующего определения классической механики.
Будем искать статическое решение уравнений поля в форме ds2 = — Adx* — Bdy2 - Cdz2 + Ddt2t (II, 3,1)
где At Bt Ct D могут зависеть только от координаты z.
Пользуясь определением тензора Риччи (I, 2,21), легко убедиться в том, что при і Ф j все составляющие тензора Риччи тождественно исчезают, вследствие чего для составления уравнений поля достаточно вычислить лишь диагональные компоненты этого тензора.
Отличающиеся от нуля символы Кристоффеля находятся по формулам
Г3 ___1_ dA__ рз ___1 dB гз _ 1 dC
11 2С dz » 22 ~ 2С dz » 133 — 2С dz
гз «[О гі = 1 dA Г2 __ 1 dB Г4 _ 1 dD
144 — 2С dz * 13 2 A dz * 23 ~~ 2В dz » 14з "" 2D ЧГ'
С помощью этих соотношений нетрудно получить следующие выражения для диагональных компонент тензора Риччи
Ru=ш {А*+4" (— 4"+4"—^c + j^")) •
/?22=\в°+-?-)! •
г> * IA'2 В'2 , ,
2А'В' , AC^ , 2AtD' ВГУ_ 2BfD' С'Р'\ + AB ^ AC r AD + ВС + BD + CD f'
"т"(4¦ + 4--?-?'}-
Мы имеем четыре уравнения вида Rii = 0.
Уравнение і = 3 значительно упрощается, если внести в него АВ" , D" из трех остальных.
Таким образом, уравнения поля можно написать в виде
2IXj -"IT + XlX + Ж + ТГ]=0'
/ Я' у Я'С Я' / Л' ?' D' \
2 ? I ЯС ^ ~В (~А ' W+ ~ТГ ) •
69 или
2(?'-?' + ^^ + ?-°. (П.М»
С \ Л ^ D) U'
поскольку в рассматриваемой задаче координатные оси Xi у равноправны, вследствие чего можно положить A=B.
2 A' D'
Здесь следует различать случаи: С' = 0, +-?)-=0-В первом из них имеем
А = (1 + пгуч C=I, D = (1 + nzf~2\ (И, 3,3)
где /і, р — произвольные постоянные Во втором случае система (II, 3,2) дает
А==ер\ О* с _ ^ __ J (п> 3>4)
где р—постоянная интегрирования, а г|э—произвольная функция Z.
Заметим, что метрика пространственно-временного континуума, отвечающая каждому из этих решений, воообще не является эвклидовой. Действительно, необходимым и достаточным признаком вырождения римановой геометрии в эвклидову служит, как известно, исчезновение тензора кривизны Римана — Кристоффеля. В случае линейного элемента (II, 3,1) отличаться от нуля могут лишь следующие компоненты этого тензора
Р2 _ AfB' Рз __ А> І А' С' \ А" *--4ЯС ' 4с [Т + "С /~2С •
AfD' ^x А'В'
#14,1---Jrn ' ^21,2-
4CD 9 '4^- 4AC 9
В'Р' 4CD 9
рЗ .С \ В" 4
А23,2- 4?- ^-g- + -Q-J 2?- , /<24,2.=
1 ___ Л' / At С \ Aff 2 / Bt С \ ВТ
/<зьз. - 4Х[~А+1Г)-2A 9 К®.*= (^T? ' С~) 2ЇГ 9
4 _ D' ID' с \ ТУ , А'ТУ
р2 __ A'D' „з __ Df * D' С IT
^42'4'~ «С» ^43'4'---С (*D + ~C~J + 2C •
1 Функции At Cf D ищутся с точностью до постоянных множителей, поскольку последние преобразованием масштабов могут быть приведены к единице.
71 Пользуясь написанными соотношениями, нетрудно убедиться в том, что при A=B условием вырождения римановой метрики в эвклидову являются равенства
Л'-О — 4- —_— О
л —и, Q \ D D' — и'
т. е.
D'2
A = const, = const.
Этому условию удовлетворяет решение (II, 3,3), в специальном случае р = 0.
В механике Ньютона свободное движение в однородном поле тяжести происходит по закону
(Px d2y п d?z т осч
Легко показать, что в случае (11,3,3) не существует значения /?, при котором свободное движение точно отвечает этому закону. В сімом деле, система уравнений геодезической линии в форме (I, 3,16) приводит в рассматриваемом случае к следующему закону движения
d2x 2 — 3р dx dz d?y _ 2 —Зр dy dz
dt2 * 1 + nz W dt ' dt2 — \+nz dt dt 9 d2z dt2
+-r'[(?)•+(ff] +
1 -2p
Первым двум условиям (II, 3,5) можно удовлетворить, положив 2
р = g-. Вместо третьего из этих условий, имеем
rf2Z 1ZiI Ч T , 2л / dz 2 ,
+
у»«+~гт[(1)'+(1)1-
Если п достаточно мало, то, пренебрегая членами второго порядка
d2z п г-»
относительно скоростей, получим ^2 = —з'- Поскольку в этом
приближении релятивистское движение должно совпадать с классическим, следует принять п = 3g.
Решение (II, 3,3) отвечает в этом случае линейному элементу
ds2 = - (1 + 3^2)3 (іdx2 + dy2) - dz2 + (1+ зgz)3 dt\ (II, 3,6)
71 который, по-видимому, и является простейшим релятивистским обобщением однородного поля тяжести классической механики. В обычных единицах имеем
ds* = _ (l + z) 3 (Idx2 + dy2) - dz2 + C2 (l + J z) (II, 3,7)
§ 4. Решение Эйнштейна для слабого поля
Решение Шварцшильда применимо к полю тяготения материальной точки или протяженного тела со сферическим распределением массы. Для произвольного распределения массы Эйнштейном указан [58J общий метод приближенного интегрирования уравнений поля, пригодный в случае достаточно слабого поля.
Будем считать, что основная квадратичная форма мало отличается от линейного элемента специальной теории относительности. Представив компоненты метрического тензора в виде ^l-/ = б,-/+ hiJy где б// —значения, соответствующие галилеевым координатам, предположим, что при подходящем выборе системы координат величины Iiij- и их производные достаточно малы. В уравнениях поля условимся сохранять лишь члены, линейные относительно этих величин.
