Уравнение поля Эйнштейна и их применение в астрономии - Богородский А.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
Согласно решению Эйнштейна имеем
hu = -4^ [тц - ± бит) du. (11,11,1)
Здесь ґ расстояние внешней точки х, у, z от элемента объема dv, построенного во внутренней точке х\ у', Zf данного тела. Интегрирование производится по объему тела.
Ковариантные составляющие тензора энергии-импульса с достаточной для наших целей точностью определяются формулами
T11=QX'2, Tn = QX' у', T13 = O, Tu=QX', Tn = Qy'2, T23 = 0, T34 = Qtj',
T33 = O, T34 = O,
T44 = Q- (И.11,2)
95 Инвариант этого тензора равен
Г = - Q*'2 - Q*/'2 + Q. (ИЛ 1,3)
Для использования решения (Ilt 11,1) необходимо найти интегралы
j pr Qdv9 j* qxfdiu [ р- Qy'du, j р- qx'2dvt j ^r QytVv9
к вычислению которых мы и переходим.
Введем сферические координаты a, ft, ф элемента объема dv% расположенного внутри шара (рис. 1) Пусть г, в0, <p0 — сферические координаты внешней точки М.
Рис. 2.
Первый из перечисленных интегралов равен
R 2л л
J j j QQ2 sin вгібгіфгіа _ _m_ ООО (fl2 -I- r2 __ 2ar cos 0)2
(IIЛ 1,4)
где m — масса шара, выраженная в релятивистских единицах. Положив г|) = (O0, имеем
Xt = CKO0 Sin О COS і|), у' = — ACO0 sin d sin (11,11,5)
Введя в сферическом треугольнике arz (рис. 2) угол а, можно написать
sin ft cos = sin ft cos a cos <p0 — sin ft sin a sin Cp0, sin d sin ip = sin ft sin a cos ф0 sin Ф cos a sin q>0.
Внося сюда соотношения
sin Ф sin a = sin 0 sin <p, sin d cos a = sin Q0 cos O — sin 0 cos cp cos 0O,
9Є которые легко находятся нз того же сферического треугольника, получаем
sin d cos г|) =* cos0 sin 0О cos <р0 — sin 0 cos ф cos 0О cos ф0 — — sin 0 sin ф sin ф0, sin Ф sin ty = sin 0 sin ф COS фо + COS 0 sin 00 sin фо —
— sin 0 COS ф COS 00 sin фо. (II, 11,6)
С помощью (II, 11,5) и (II. 11,6) второй из перечисленных интегралов приводится к следующему
Я2зх я
O0Q j J j (COS 0 sin 0O COS Фо — sin 0 COS ф COS 00 COS фо —
ООО
— sin 0 sin ф sin фо) sin QdQdyda =
R JI
= 2ло)0q sin 0O cos фо J a3 J ^r sin 0 cos QdQda о O
и оказывается равным -^co0mR20^. Подобным же образом находится третий интеграл; он равен
— ^ (O0HiR20 ~
Четвертый интеграл
R л 2л
СO20Q j a4 J S1", j (COS 0 sin 0О COS ф0 — sin 0 COS ф COS 0O COS фо ¦
OO O
— sin 0 sin ф sin ф0)2dtpdQda приводится к величине
WlmRl I _ R2n . 3R*tf \
0 0 1__l -L._,
5r \ 1 7r2 ^ 7r< / • Последний из перечисленных интегралов равен
<mRl Л ^2O , 3^M
5г у 7г2 ' 7г4 J'
Пользуясь приведенными значениями, легко находим с принятой точностью
2т 4 и 4 х
Zi11 = Zz22 = А33 =--—, Zz14 = — -g (0QmRlf-, A24 =3 -5 GVnRly
n^ г JF--7ЇГ)- Щ.11,7)
Выражение для Л44 дополнено членом второго порядка относительно потенциала (см., например, [591) Остальные Hij в рассматриваемом приближении исчезают.
/35
97 Глава 111
ЗАДАЧА КЕПЛЕРА § 1. Уравнения движения
Релятивистская задача Кеплера о движении частицы в центральном поле является обобщением ограниченной задачи двух тел ньютонианской механики для случая, когда относительная величина одного из тел достаточно мала. Вывод о вековом вращении линии апсид в невозмущенном движении планеты принадлежит к числу важнейших результатов общей теории относительности и является одним из трех главных астрономических следствий этой теории.
Впервые релятивистская задача Кеплера изучалась в классической работе Эйнштейна [52]. Пользуясь приближенным решением уравнений поля для случая центральной симметрии, Эйнштейн исследует уравнения движения и получает известную формулу, определяющую прецессию периодической орбиты
До г= у (111,1,1)
где До) — изменение долготы перигелия в течение одного периода, т — масса центра гравитации в релятивистских единицах, р — фокальный параметр орбиты.
Решение Шварцшильда, рассмотренное в предыдущей главе, позволяет дать элементарный, но достаточно обоснованный вывод приближенной формулы (III, 1,1), который в той или иной форме воспроизводится почти во всех руководствах по теории относительности. Общее решение задачи о движении в поле одного центра содержится в работе Хагихара [65], в которой уравнения геодезической линии интегрируются при помощи эллиптических функций Вейерштрасса. В последующих параграфах воспроизводится более элементарное исследование уравнения релятивистской орбиты, выполненное при помощи эллиптических интегралов в форме
98 Лежандра [66]. Во всех случаях это исследование доведено до формул, непосредственно пригодных для вычислений. Переходим к составлению уравнений движения. Пусть X1, X2 , X3— пространственные координаты, х4 = t — временная координата. Согласно принципу геодезической линии в форме (I, 2,16) уравнения движения имеют вид
d2x° , (го Г4 dx°\ dxadxV_
-fir+ [la? —I a ?-^rj "ЗГ (111,1,2)
Геометрия пространственно-временного континуума, соотЕетствую-щего полю центральной симметрии, определяется внешним решением Шварцшильда, в котором отличны от нуля лишь диагональные компоненты метрического тензора. Вследствие ЭТОГО СИМВОЛЫ Кри-стоффеля, входящие в уравнения движения, даются, как нетрудно убедиться на основании определений (I, 2,6—7), формулами
