Уравнение поля Эйнштейна и их применение в астрономии - Богородский А.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
§ 2. Внутреннее решение Шварцшильда
Для приложений может представить также интерес внутреннее решение Шварцшильда [57], характеризующее поле гравитации внутри сферы, наполненной несжимаемой жидкостью с постоянной собственной плотностью Q и давлением /?, зависящим от расстояния до центра сферы.
Диагональные компоненты тензора энергии-импульса имеют в этом случае вид
Ти = реа, Pfzt pr2 Sin2 0, QeP1
тогда как остальные компоненты этого тензора тождественно исчезают.
Инвариант тензора Риччи, равный согласно (I, 5,22) Ta?, определяется соотношением R = 8я(д —3р).
Воспользовавшись приведенными в предыдущем параграфе выражениями для составляющих тензора Риччи, легко убедиться в том, что вся система уравнений поля сводится в рассматриваемом случае к трем следующим уравнениям
Pw а'Р' ,P'2 а' А аі ч
-?---Г + V — 7" = 4ле (Р — ^
^r + -^a = 4««(р-в).
?-2? + Т + Т = 4«в(Зр + С)
64 или
= +^)-,4-. (И, 2,1)
Последнее из (II, 2,1) после умножения на г2 принимает вид 8л Qr2 = (г — re-aY
и сразу дает
е-« = 1 — Ar2, k = I JiQ, (И, 2,2)
так как вследствие конечности епри г = 0 для постоянной интегрирования следует принять нулевое значение.
Объединяя два первые уравнения (II, 2,1), имеем
или, если внести найденную функцию а,
?" + __&_и
P -t- 2 г (1 — kr2)
Переписывая это уравнение в виде
, 1
ft' I О ,
?'1 2 г (1 —kr2)
и выполняя интегрирование, легко получим
?
О, T 2Bkr
где В — произвольная постоянная. Повторное интегрирование дает
е* = {А- BVl-kr2)2 (11,2,3)
где А —новая постоянная.
Давление оказывается равным
k_ZB Vx —kr2 —А Р 4я Л-ВГГ=^2 " 1 ' ' '
Постоянные интегрирования определяются по условиям на границе сферы.
5 735 65 Согласно (II, 1,6) вне сферы имеем = 1 —Положив
2т = = kR3, где R —радиус сферы, и сравнивая эту функ-
цию на границе с (II, 2,3), находим
1 — kR2 = (А — В V1 — kR2)2.
Кроме того, на границе необходимо принять р = О, что по (II, 2,4) дает
Л— 351/1 —-kR2 = 0.
Совместное решение этих уравнений приводит к следующим значениям постоянных
Л = 5 =aT- (И, 2,5)
Рассмотрим еще случай сферы, наполненной сжимаемой непрерывной средой.
Переходя от релятивистских единиц к обычным, перепишем уравнения поля (II, 2,1) в виде
Sw'(f+^K.
7 0-^-4-+tT+ 1jFl)-
2Y
где принято k = .
Последнее из этих уравнений легко интегрируется и дает
г
Ank I r2qdr = г — re о
Поэтому, положив
T
M SB 4я ^ ^edrl
о
находим
MkQ _ 1 kM
er4* afci 1 — ——.
Комбинируя ttepooe из уравнений (И» 2,6) с третьим, имеем а'+§'«4 tikre«(Q +
66 Пусть внешняя поверхность соответствует г = R. Поскольку на этой поверхности согласно внешнему решению Шварцшильда должно быть а + ? = 0, интегрируя предыдущее уравнение, получаем
R
а + ? = — 4л& j (q + -J-)eardr.
г
Следовательно,
R
Jsase-U-ЧякДд+і)
Итак,
S=Il-^f,
(II, 2,7)
Составим уравнение, связывающее распределение плотности и давления и являющееся релятивистским обобщением основного уравнения гидростатики.
Комбинируя первое из соотношений (II, 2,6) со вторым, имеем
g/?» a'?' ?'2 a' + ?'__U + JL-o
Є I 2 4 ' 4 2г r* / + r* ~ U
2
или, если умножить на у и произвести соответствующую перегруппировку членов,
Поэтому
dp
Внося сюда
+(P+ = 0.
4яг8р
C2Af
ft' I Р\ > ^M -rC2Al
г
находим
dp__c2kMQ
dr
2^Q /і t M/і , 4яг»р\/1 5* 67 Таким образом, входящие в (II, 2,7) функции удовлетворяют системе уравнений
? - +?)(i + 35F)(i - agf. (ц,зд
= 4jtr2Q'
которая и является условием равновесия. Решение этой системы требует задания уравнения состояния в форме той или иной зависимости между давлением и плотностью.
§ 3. Плоское поле гравитации
В механике Ньютона полем тяжести принято называть однородное поле тяготения, обладающее во всех точках одинаковым градиентом потенциала. При соответствующем выборе координат свободная материальная точка движется в таком поле по закону
dt2 dt2 dt2 ~~ g*
где g — постоянное ускорение, которое служит основной характеристикой поля.
Однородное поле тяжести можно осуществить в механике Ньютона двумя способами. Один из них состоит в введении системы координат, движущейся с постоянным ускорением относительно инер-циальной системы отсчета. Движение свободной частицы, отнесенное к таким координатам, происходит в однородном поле тяжести, интерпретируемом как поле сил инерции. Второй способ позволяет осуществить поле тяжести как «истинное» поле тяготения, принадлежащее материальной плоскости с постоянной поверхностной плотностью. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим бесконечно тонкое материальное кольцо радиуса г и ширины dr. На единицу массы, помещенную над центром кольца на высоте z над его плоскостью, действует в направлении центра сила притяжения
2nyazrdr
(z2 + r2)V,'
где а — поверхностная плотность. Выполняя интегрирование, получим
OO
g = 2nyozj ^r^ — 2пуа.
Таким образом, материальная плоскость с поверхностной плотностью a = ^ создает однородное поле тяжести с заданным ускорением g.
