Физика элементарных частиц и атомного ядра. Том 17 - Боголюбов Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
калибровки.
Матричная запись (25) приводит к идее прямой ортогонализации: можно
попытаться найти численно такую матрицу А, которая диа-гонализировала бы
Gy.
AGjA-1 = diag (gu g2, . . gj), причем в невырожденном базисе все gt > 0.
Тогда
AGjA-iAaj = Aij и компоненты вектора Aaj легко выразить:
(A&j)t = (Aij)0/gu i = IT7.
Способ этот трудоемок, но привлекателен обращением к богатому и хорошо
известному арсеналу матричных вычислений. Он применялся с успехом для
получения более точных калибровочных преобразований в [41].
Иной и более прямой путь к ортогонализации базиса до составления
уравнений (25) состоит в использовании процедуры ортогонали-эации Грама -
Шмидта [40]: если {Ьг} - исходный, а {ег} - ортогональный базисы, то ех -
Ъх и
et = 1=Х1.
3=1 5
Нетрудно убедиться, что эта процедура универсальна, т. е. она
обеспечивает ортогональность набора {ef} не только для полиномов, но и в
случае любых базисных функций {&*}. Платой за это полезное качество
является ее трудоемкость: ортогонализация по Граму - Шмидту в сочетании с
нормировкой нового базиса требует расчета J (J - 1)/2 скалярных
произведения и J скалярных квадратов при размерности J, причем число
необходимых скалярных произведений не зависит от размерности независимой
переменной.
Третий - и на наш взгляд наиболее эффективный - способ ортогонализации
полиномиального базиса основывается на использовании рекурсий типа
трехчленного соотношения Форсайта [35]. Это соот-
ПРОБЛЕМЫ КАЛИБРОВКИ ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ Ю01
ношение связывает значения ортогональных полиномов трех последовательных
порядков от одной переменной и записывается в виде
Pf+1 (;х) = ci+1 [(я - а|+1) Pi (.х) - $iPt_ 1 (ж)], (27)
где х - произвольное, но фиксированное значение независимой пере менной,
а {а*} и {р*} - рекуррентные коэффициенты, выражающиеся через скалярные
произведения и не зависящие от аргумента х Собственно соотношение
Форсайта (27) касается ортогонализации базиса, но не его нормировки.
Обобщения этого соотношения, сделан ные в [36-39], расширили его таким
образом, что:
а) была установлена связь между нормирующим коэффициентом с* и
рекуррентным коэффициентом |Зг, что позволило проводить нормировку базиса
параллельно с ортогонализацией;
б) соотношение было дополнено четвертым членом с тем, чтобы
распространить его на все нетривиальные производные и неопределенные
интегралы ортонормированных полиномов {Р*} [38];
в) аналогичное соотношение было расписано для полиномов от нескольких
переменных.
С помощью рекуррентных соотношений стало возможным численное или
аналитическое построение систем ортонормированных поли номов при любом
определении скалярного произведения и любом числе независимых переменных.
Общая идея ортонормирующих алгоритмов этого класса состоит в следующем:
1. Предварительный расчет рекуррентных коэффициентов для всего
диапазона требуемых степеней.
2. Вычисление значений полиномов базиса для произвольного
фиксированного набора значений х (здесь х означает независимые
переменные, необязательно в одном измерении) при помощи соответствующего
рекуррентного соотношения, без того, чтобы расписать сами полиномы в
коэффициентах [42].
Мы не считаем целесообразным приводить здесь явный вид полного набора
расчетных формул для рекуррентных коэффициентов, которые могут быть
найдены в цитированной литературе. Отметим только, что имеется взаимно
однозначное соответствие между полиномами естественного и
ортонормированного базисов, благодаря чему становится возможным следовать
тому же лексикографическому порядку в нумерации элементов
ортонормированного базиса. Нам кажется также существенным описать принцип
данного подхода и аргументировать утверждение о его большей
эффективности, которая к тому же является разносторонней:
рекуррентная ортонормировка требует расчета меньшего числа скалярных
произведений по сравнению с методом Грама-Шмидта. Это означает, что
данный подход более экономичен с точки зрения подготовительных
вычислений;
рекуррентная ортонормировка требует сохранения вычисленных скалярных
произведений для расчета значений полиномов, тогда как в методе Грама-
Шмидта необходимо хранить значения коэффи-
1002 БОГДАНОВА Н. Б., ГАДЖОКОВ В., OGOCKOB Г. А.
циентов, чье число совпадает с числом скалярных произведений для того же
метода Грама-Шмидта. Это означает, что рекуррентный подход более
экономичен с точки зрения использования памяти;
при рекуррентном подходе более прост и стандартен способ расчета значений
полиномов базиса, тогда как в методе Грама-Шмидта необходимо строить
сложные многомерные аналоги алгоритма Горнера. Кроме того, по крайней
мере в одномерном случае осуществимо вложение (англ. telescoping)
ортонормированных аппроксимирующих рядов [38, 43, 48]. Мы предполагаем,
что вложение в принципе возможно и для многомерных рядов, но нам не
известны соответствующие программные реализации. Это означает, что
рекуррентный подход более экономичен и с точки зрения объема основных
