Физика элементарных частиц и атомного ядра. Том 17 - Боголюбов Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
личину остатков, усредненную f j J t J '
с учетом их погрешностей, т. е. |~ -Н Н"Н fr- .
li=vdi,wwd2N , iL_L_l-L_JL-.il-L-L
где T означает транспонирова- ^мкм 10ш
ние, Wzn ~ &2N- Рис. 2. Пример карты остатков
Как известно [23], в предположении нормальности распределения вектора
остатков D2N оптимальные оценки параметров AN, BN могут быть получены
минимизацией функционала L%. Если справедливо дополнительное
предположение о независимости остатков, то S2N становится диагональной и
задача фактически распадается на две независимых задачи вычисления оценок
AN и BN минимизацией функционалов, имеющих с учетом (7) - (9) вид:
N М
Ф|= 2 Wxkixk- 2 aj<Pj(uh, vk)]2;
N M ( ^
Ф1= 2 Wyhbk- 2 b}q>}(uh, vh)]2 h-l j= 1
с весами
v>xh = <*uL = N.
Очевидна важность правильной параметризации задачи калибровки, т. е.
удачного выбора системы двумерных функций {<р^}, которые, с одной
стороны, должны достаточно хорошо описывать встречающиеся на практике
типы дисторсий, а с другой - обеспечивать вычислительные удобства при
решении системы нормальных уравнений (быстрая вычислимость на ЭВМ,
недопущение ситуаций плохой обусловленности и т. д.).
Есть еще один аспект проблемы параметризации. Преобразова-
F
ния (8) дают нам прямой переход (и, и) -+- (х, у) от измеренных координат
к идеальным. Однако в практике измерений возникает необ-
p-i
ходимость в обратном преобразовании (х, у) -> (м, v), обеспечивающем, в
частности, привязку некоторых заранее измеренных вручную точек к данным
автоматических измерений, что необходимо для организации быстрой селекции
данных в процессе сканирования.
Г- 1 |="~ [ 1 I-1 - 1 - \ i ~i* i i
-и г 1 -4 .-L -i '-1 - i -r i j -i i i =-T \
] 1 1 т U- \ i i i 1 '
г] 1С--J "\ h=r= ) f i i i 1 i L--
Ютш 10ш
Рис. 2. Пример карты остатков
992 БОГДАНОВА Н. Б., ГАДШОКОВ В., OGOGKOB Г. А.
К сожалению, нелинейность системы {ф7- (и, tf)}jli препятствует
непосредственному обращению (8), поэтому для получения функции обратного
преобразования F-1 (х, у, А') ее также целесообразно построить в виде
линейной комбинации двумерных функций, образующих систему (х, y)}jLi:
м
F-1 (х, у, А') = 2 а'№ (*" У)• (И)
j- 1
Коэффициенты (11) также можно определить по МНК, используя данные
измерений {uh, vh] и идеальные координаты решетки {xh, Ук}ь=1, но в
отличие от прямого преобразования минимизируемый функционал в случае
обратного преобразования строится на фиксированном наборе точек {xh,
Уь}^=1, что значительно упрощает вычислительную сторону проблемы.
Переходя к проблеме конструирования систем функций {фу} и {\|)7}, укажем
на один из возможных путей такого конструирования, приведенный ниже в
разделе о калибровке для прибора с полярной системой координат. Функции
{ф;} там не являются ортогональными, поскольку строятся линеаризацией по
параметрам соотношений, учитывающих аппаратные особенности и дисторсии
сканатора. Подобный опыт хотя и носит частный характер, но достаточно
поучителен, так как показывает, как могут быть установлены такие
соотношения функций {фу}, которые позволяют осуществлять диагностику
прибора.
Однако чаще всего в качестве {фу} и (\Jij) используются системы двумерных
ортогональных полиномов. Они особенно удобны при калибровке приборов
наиболее общеупотребительного типа с прямоугольной системой координат,
так как упрощают вычисления и позволяют хорошо учесть самые разнообразные
дисторсии, в том числе значительные подушкообразные или бочкообразные
искажения, присущие обычно приборам с электронно-лучевым сканированием, а
также бесфильмовым системам. Более подробное описание различных систем
полиномов дано в следующем разделе в числе других математических
сведений, необходимых для реализации этапов обработки.
2. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ
Имитационное моделирование. Один из наиболее плодотворных путей проверки
правильности как самой математической модели явления, зависящего от
случайных параметров, так и нашей способности разумно интерпретировать
результаты этого явления - это имитационное моделирование. Метод Монте-
Карло позволяет заложить в модель поток данных, поступающих с автомата
при сканировании калибровочной решетки, случайные погрешности,
появляющиеся в процессе сканирования, и систематические отклонения
вследствие
ПРОБЛЕМЫ КАЛИБРОВКИ ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ 993
учтенных дисторсий прибора. Статистическая обработка такой модели с
помощью системы программ, реализующей некоторые принципы и алгоритмы,
позволяет: а) проверить правильность алгоритмов и их способность к
обнаружению систематических погрешностей; б) определить точность
вычисляемых параметров; в) установить характеристики скорости и
надежности и провести верификацию всей системы программ. Для обеспечения
высокого правдоподобия статистических выводов моделирование и последующая
обработка должны быть повторены большое число (103 - 104) раз.
Рассмотрим в качестве примера модель симметричной калибровочной решетки,
состоящей из N отдельно расположенных крестов с взаимно перпендикулярными
