Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний - Боголюбов Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим приведенную систему коленчатого вала, изображенную на рис. 118, где на участке между первой и второй массами имеется нелинейная связь. Предположим для упрощения, что на среднюю массу дейст- ф
вует периодический крутящий момент типа j
с,
ЬМ-
М — Е sin I
h h Рис. 118
где Е — const, — = v — частота момента, пропорциональная числу оборотов двигателя, а моменты, действующие на массы, расположенные па концах приведенного вала, равны нулю.
Обозначим моменты инерции масс двигателя через /1, /2, /3, а углы отклонения от равномерного вращения через fv <р2, <р3.
Тогда жесткость участка вала между первой и второй массами зависит от характеристики нелинейной муфты. Жесткость участка вала между второй и третьей массами обозначим через с2. Упругий момент, зависящий от разности углов поворота прилегающих масс, для первого участка будет:
F (?2 - <Pi) = ci' (фа - ?i) + е/ (<р2 - ft),
где функция е/ (<р2 — ip1) определяется конкретно заданной характеристикой нелинейной муфты, а — некоторая постоянная; для второго участка упругий момент будет:
с2 (фз Фг)-
Предположим также, что на втором участке вала учитывается внутреннее трение, которое будем считать пропорциональным скорости (с коэффициентом пропорциональности а).
280 ОДНОЧАСТОТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ [Гл.»IV
Тогда уравнения крутильных колебаний рассматриваемой системы будут:
Вводя обозначения:
9l = 9l> ?3-?2=<?2,
уравнения (22.36) можно привести к следующей системе двух уравнений второго порядка (одну степень свободы —вращение, мы исключаем из рассмотрения):
Допустим, что нелинейность, коэффициент трения и амплитуда внешнего момента малы, а также, что для системы (22.37) выполняются условия, приведенные в § 21 (стр. 261).
Предположим также, что частота внешней синусоидальной силы > близка к - первой собственной частоте о>х; в этом случае, естественно, в системе будут возбуждаться колебания, соответствующие первому нормальному колебанию с частотой, близкой к (ох, в то время как колебания с частотой со2, находясь вне резонанса, из-за наличия трения будут затухать.
Тогда согласно (22.28) частным решением системы (22.37), соответствующим одночастотному режиму, близкому к первому нормальному колебанию, будет:
где с/1* н Ы1* — фундаментальные функции, являющиеся нетривиальными решениями системы однородных алгебраических уравнений:
а а и г> должны быть определены или из уравнений первого приближения, цда для стационарного режима по формулам типа (22.33) и (22.34), которые мы сейчас и составим, воспользовавшись схемой, приведенной на стр. 278.
^a9a F (фг — <?i) ca (?з ‘Pi) = M -(- a (<p3 <p2),
h9a + ca (?з - 9a) = — a (?з “ %)•
(22.36)
12 ?i + ci 1 + ^ 4i — c2?a-----0 ^~^i0 ^ a^2 sin 6,
(22.37)
h 42 - С1Я1 + c2 (1 + 7J ) Ч2 = s/ (?i) - a (1 + 7^) 42 - E sin 6.
qx = cos (0 + &), j ?2 = <?'1,acos(6-l-&), }
(22.38)
(22.39)
(«х — корень частотного уравнения «невозмущеннои» системы:
(22.40)
§ 23] СИСТЕМЫ С МЕДЛЕННО МЕНЯЮЩИМИСЯ ПАРАМЕТРАМИ
Находим:
281
(22.41)
(22.42)
(22.43)
?'(‘) = ?,(?(‘)-<р<1)). (22.44)
Подставляя эти выражения в формулы (22.39), получаем зависимость, при помощи которой легко можно построить резонансную кривую.
О)<‘)(а)¦
2те
2тгт1(о1а
^ / (<?<15 a cos <]>) cos <j> с?ф,
Рио. 120.
Так, например, в случае, если характеристика нелинейной упругой муфты имеет вид, представленный на рис. 119, то резонансная кривая будет такая, как на рис. 120.
§ 23. Исследование одночастотных колебаний в нелинейных системах со многими степенями свободы при наличии медленно меняющихся параметров
Как уже указывалось выше, во многих актуальных проблемах вибротехники мы встречаемся с колебательными системами со многими степенями свободы, в которых ряд параметров (эффективные собственные и внешние частоты, амплитуды вынуждающих сил и т. д.) медленно изменяются, причем медленно в указанном выше смысле —по сравнению с периодом собственных колебаний.
В настоящем параграфе мы остановимся на построении асимптотических разложений для дифференциальных уравнений, описывающих колебания в таких системах, в предположении, что в системе совершается одночастотный колебательный процесс.
Как и в предыдущих параграфах, систему дифференциальных уравнений будем рассматривать в таком виде, когда невозмущенная система соответствует обычной схеме теории малых колебаний.
282 ОДНОЧАСТОТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ [Гл. IV
Итак, рассмотрим колебательную систему с N степенями свободы, кинетическая и потенциальная энергия которой могут быть представлены в виде
N N
Т = Т 2 агв(Х)ЯгЯв’ F = y 2 Crs(X)?r?s> (23.1)
Г, S=1 г, s= 1
где qx, q2, ¦ • •, q^ — обобщенные координаты, х = st — «медленное» время, а, как и всегда, — малый положительный параметр, ars (х) =. asr (х), crs(x) = csr'(x) (s, r= 1, 2, ..., N) — некоторые функции «медленного» времени х, обладающие производными любого порядка при всех конечных значениях х.
Предположим также, что на конечном интервале 0<г<71, где
Т = ~, причем L может быть сделано сколь угодно большим для сколь
