Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний - Боголюбов Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
(О. vi. ф) =
2п 2тс N
N Ц J У *<*)$? (а, 0. ф)в-«(пв+тф)йв^| вЦп*+тф)
j_ fWJUL2=Lr
^ [u)|—(«v+mu>x)2]
та, m h=i (пфО, тф± \ для h=l )
(22.19) (s=l, 2, ...,iV).
Для определения функций Л2 (а) и В2 (а) можем либо воспользоваться непосредственно формулами § 13 (формулы (13.37)), либо составить уравнения гармонического баланса, выражающие равенство коэффициентов при первой гармонике угла ф в левой и правой частях уравнения (22.6) после подстановки в него значений ж = асо8ф, дз = <р'1} a cos ф 4- sMg1' (a, vt, ф) (s = 1, 2, ..., N) с учетом, разумеется, того, что а и ф определяются уравнениями (22.5), причем все вычисления следует вести с точностью до величин второго порядка малости включительно.
После элементарных выкладок получаем для А2 (а) и В2 (а) следующие выражения:
А* И = - 2^1 [ aAl (а) + 2Al (а) Bl {а) ] “
2п 2ге N
\ 2 ?№(«. 9, Ф^ШфеШф,
О О r=1
в‘ (») - sb I "4г-’ ^ (“) ¦- ¦<») ] -
2л 2л N
4 п2ш1т1а
О 0 г=1
где обозначено:
(22.20)
(?{.2) (а, 6, ф) = ()'2’(0, tp'^a cos ф, ..., <pjv’a cos ф, -
N {SOT
— sin ф, ..., — sin ф) 4-2 \-^Ги^(а’ Ф) +
8=1
+ [ &1)А1 (a) cos ф - tf'aBx (a) sin ф + ^ ] } а)в cos
qs=— <p(l>ato sin4T S (22.21)
(r= 1, 2, ..., N).
Перейдем к рассмотрению резонансного случая.
Ради простоты изложения вместо общего случая, когда
§22] ВЛИЯНИЕ ВНЕШНИХ ПЕРИОДИЧ. СИЛ НА ОДНОЧАСТОТН. КОЛЕБАНИЯ 275
где р и q — некоторые взаимно простые числа, рассмотрим случай, называемый главным резонансным, когда p = q= 1. При этом заметим, что все рассуждения могут быть перенесены и на общий случай без существенных изменений.
Как уже нами выше указывалось, при рассмотрении резонансного случая, в зависимости от характера стоящей перед нами задачи, могут возникнуть два подхода к ее решению — исследование непосредственно резонансной области и изучение, помимо резонансной области, также подходов к ней из нерезонансной области.
Здесь мы рассмотрим второй, как наиболее общий случай, причем для нахождения соответствующих асимптотических формул опять воспользуемся результатами, полученными для системы с одной степенью свободы, в § 14.
Исходя из рассуждений, приведенных на стр. 176, приближенные решения будем искать в виде рядов
qs = ср^’а cos (v* + &) + ен^1' (a, vt, ф) 4-е2и'2) (а, v*, ф)-(s = l, 2, ..., N),
(22.22)
где ф = vi 4-», и™ (а, д, ф), и'2) (а, 6, ф), ... (s = l, 2, ..., N) периодические функции по обеим угловым переменным 6 и ф с периодом 2т, а а и 9- должны быть определены как функции времени из системы дифференциальных уравнений
da
dt
<$)¦
dt
= sAx (а, 9) 4-s2^2 (а, + • • • I
= U)x — V 4" е-®1 (а, + ®2-®2 (а1 + • •
(22.23)
Для построения первого и второго приближения нам необходимо найти выражения для А1(а, Ь),В1(а, Ь),А2(а, Ь), В2(а, &) и м,1’ (a, v?, ф) (s = l, 2, ..., N).
Для определения ^41(а, &) и Вг(а, &) сразу же составляет систему, аналогичную уравнениям (14.34).
Для этого в уравнениях (14.34) необходимо заменить «> на а>1, учесть наличие обобщенной массы тх и вместо /0 (а, 6, ф) подставить
2 {а, 0, ф), где
Г= 1
Qlro(a, 6, ф) = <?г1} (б, ^’асовф, ..., — (р^аю^тф, ...).
В результате получаем систему уравнений
К - v) it ~ 2®“ А =
1
2те 2тс N
2п2т
О 0 r=1
\ ^1 I о л
'^a~W + =
} (22.24)
2гс 2п N
о о
(»' = ф-0),
276 ОДНОЧАСТОТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ [Гл. IV
из которой не представляет затруднений найти частные периодические по & значения Ах(а, &), В1(а, &), как об этом уже упоминалось выше.
Для построения асимптотических формул во втором приближении определяем (a, vt, vt + &) (s = 1, 2, ..., N) как вынужденные «регуляри-зированные» колебания, возбуждаемые в невозмущенной системе внешними возмущающими силами, взятыми в режиме синусоидальных колебаний, причем при «регуляризации» в отличие от нерезонансного случая в соответствующих суммах должны отсутствовать члены, для которых могут выполняться соотношения между индексами п, т типа nq + -\-(т ± 1) /? = 0 (для слагаемых, в знаменателе которых присутствует WjJ.
Таким образом, «регуляризированное» выражение для и*1’ (a, v?, + (s = 1, 2, ..., TV) будет иметь вид
Для составления уравнений, определяющих Л2(а,&) и В2(а,Ь), воспользуемся соответствующими формулами, выведенными в § 14 для системы с одной степенью свободы, либо уравнениями гармонического баланса. Вывод этих уравнений в явном виде предоставляем читателю.
Остановимся еще на рассмотрении частного случая системы (22.2), часто встречающегося при решении практически важных задач, когда возмущающие обобщенные силы имеют вид:
и, следовательно, колебания описываются системой дифференциальных уравнений:
Будем рассматривать основной резонанс (р = 1, q= 1), причем для упрощения остановимся на исследовании только первого приближения.
Согласно общему методу, изложенному выше, частным решением системы (22.27), соответствующим одночастотным колебаниям, близким к первому нормальному, в первом приближении будет:
где функции времени а и 8 должны быть определены из системы урав-
Mg1' (a, -it, v?-[-&) =
2п N
N
™-h [“I—(о^т + чгс)2]
X
