Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний - Боголюбов Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
y=%L + F{x), \(x,y) = ?+ G(x). (10.3)
При таких обозначениях у можно интерпретировать как кинетическую
энергию, причем заметим, что введенную выше функцию G (х) можно интерпретировать как потенциальную энергию.
*) Доказательство этих теорем можно найти в книге В. В. Немыцкого и В. В. Степанова [33].
% ю]
МЕТОД ЛЬЕНАРА
135
Определим теперь энергию, рассеиваемую системой при колебаниях, описывающихся уравнением (10.1). Имеем:
г(?+с<*0=^{К? + "«)2+ед} =
-#(?+/(*)S+*w)+J'Wa(t + "W)-
или, принимая во внимание (10.1) и обозначения (10.2) и (10.3), находим после сокращения на dt:
dk = F(x)dy. (10.4)
Таким образом, энергия, рассеянная системой, будет выражаться
величиной интеграла \^F(x)dy, взятого вдоль интегральной кривой.
Переходя к переменным х, у, из уравнения (10,1) получим эквивалентную ему систему:
dx .
W=y-F(z)t
dy_
dt
¦ (10.5)
что система (10.5) обладает
Таким образом, нам надо показать, единственным устойчивым циклом.
Система уравнений (10.5) обладает следующими очевидными свойствами:
1) если x(t) и y(t) являются решениями системы уравнений (10.5), то в силу приведенных ограничений — х (t), — у (t) также будут решениями (так как F (х) — функция нечетная); следовательно, кривая, симметричная интегральной кривой по отношению к началу координат, является также интегральной кривой уравнения (10.5);
2) единственной критической точкой системы (10.5) на фазовой плоскости является начало координат, и поэтому предельный цикл должен окружать начало координат;
3) наклон интегральной кривой Г определяется следующим уравнением:
dy_ s W
dx у—F (х)
Так как g(0) = 0, то все касательные к траектории Г в точках, лежащих на оси Оу (за исключением начала координат), горизонтальны.
С другой стороны, если мы рассмотрим кривую Д, уравнение которой будет y — F(x) — 0 (рис. 59, пунктирная линия), то нетрудно заметить, что все касательные к Г в точках пересечения ее с Д вертикальны,
за исключением начала координат так как на А у — F (х) = 0 и, следовательно, °° ^). Далее, так как g (х) — нечетная, xg (х) > 0, то
согласно (10.5) у убывает вдоль кривой Г направо от оси Оу и возрастает налево от оси Оу. Кроме того, х возрастает, когда Г лежит над Д
(10.6)
136
МЕТОД ФАЗОВОЙ плоскости
[Гл. II
(так как в этом случае y — F(x)^> 0), и убывает, когда Г лежит ниже А. Следовательно, кривая Г имеет вид, изображенный на рис. 59.
Обозначим через а абсциссу точки В и будем в дальнейшем писать Га вместо Г.
Установим теперь, при каких условиях Г0 будет замкнутым циклом.
Очевидно, необходимо, чтобы ОА'=ОА, так как в противном случае, повторяя наше рассуждение, убедимся, что, продолжая Г за точку А', мы получим, поскольку цикл не может себя пересекать, точку А", лежащую ниже А' (рис. 60), и т. д. Таким образом, если ОА'фОА, кривая Га не сможет возвратиться ни в точку А, ни в точку А' и,
следовательно, не сможет быть замкнутой. Следовательно, Га 'должна пересекать каждую ось в двух и только в двух точках. 'Отсюда следует, что О А = — ОС.
Действительно, допустим, что ОА Ф — ОС и пусть точки''А' и С' симметричны точкам А и С по отношению к началу координат. Согласно первому свойству системы уравнений (10.5) кривая, симметричная кривой Га по отношению к началу координат, будет замкнутой интегральной кривой Г1( проходящей через точки А', С'. Так как ось Оу перпендикулярна к Га, то мы приходим к положению, изображенному на рис. 61, когда кривые Га и 1\ пересекаются, что невозможно. Таким образом, О А = —ОС.
Наоборот, предположим, что О А — — ОС. Тогда кривая, симметричная дуге АС по отношению к началу координат, является дугой цикла, соединяющей точку А с точкой С налево от оси Оу. Вместе с дугой АС она образует замкнутый цикл.
Итак, для того чтобы Га являлась замкнутым циклом, необходимо и достаточно, чтобы ОА = — ОС.
V2
Так как, согласно обозначениям (10.2), X(0, у) = %у, то последнее
условие можно сформулировать следующим образом.
Для того чтобы Г* являлась замкнутым циклом, необходимо и дотаточно, чтобы
Х(4) = Х(С), (10.7)
Итак, покажем, что при выполнении условий, которым удовлетворяют функции / (х) и g(x), выполняется равенство (10.7) и, следовательно, уравнение (10.1) обладает предельным циклом.
§ 10]
МЕТОД ЛЬЕНАРА
137
Для доказательства будем рассматривать следующие криволинейные интегралы, взятые вдоль кривой Г.
Положим
<р(а) = Х(С) —Х(Л) = ^ dl= ^ F\(x)dy,
(10.8)
ABC
ABC
Если а<а (см. рис. 59), то dy < 0, а также согласно четвертому условию (см. стр. 134) F (х) < 0 и, таким образом, <р (а) > 0, т. е. \(С)>ЦА).
Следовательно, в этом случае Га не может быть замкнутым циклом. (В этом случае \ F(x)dy> 0, т. е. энергия, рассеянная систе-
АВС
мой, положительна и, очевидно, в системе не могут осуществляться незатухающие колебания.)
Поэтому предположим, что а >а, т. е. кривая Га имеет такой вид, как на рис. 59. Обозначим:
(а)= ^ dl+ ^ d~k, <р2 (а) = \
AD СЕ DBE
тогда
?(a) = ?l(a)+?2 (<*)• Согласно (10,4) и (10.6) мы можем написать:
d\ = F(x)dldx = dx.
' ’ dx у—F (х)
(10.9)
Так как F (х) < 0 для х < а, то d~k положительно, когда Г* описана
