Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний - Боголюбов Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Тогда, после исключения времени t, получаем следующее уравнение:
^2
y — xix = c (y — *2x)xi.
(9.32)
от знака показателя степени ^. Если
> 0, то (9.32) представляет
В случае, если ~ < 0, что будет при ad — bc> 0, то (9.32) является
dy^JL dx х ’
(9.33)
(9.34)
(9.35)
126 МЕТОД ФАЗОВОЙ ПЛОСКОСТИ Ггл. II
решение которого
7) = -1е1пе + а (9.36)
представляет собой совокупность кривых, проходящих через особую точку и представленных на рис. 48. Особая точка опять является узлом,
причем узел будет устойчивым при Ь + с < 0 и неустойчивым при Ь-f с > 0.
Результаты проведенного рассмотрения даны в табл. 5
Таблица 5
1 (6—c)2+4ad<0 Ъ-\-сф0 фокус 6+c=0 центр 6+c< 0 устойчивый фокус b~\~c >0 неустойчивый фокус
2 (ib—c)2-j-4ad=0 узел Ь+с<0 устойчивый узел 6+с> 0 неустойчивый узел
3 (b—c)2-\-4ad>0 ad—6c<0 узел ad—be >0 седло 6+с<0 устойчивый узел 6+с> 0 неустойчивый узел
Перейдем теперь от локального исследования характера движения вблизи особых точек к исследованию поведения интегральных кривых на всей фазовой плоскости.
Для получения ориентировочного представления о возможном характере поведения интегральных кривых на фазовой плоскости рассмотрим вначале приближеиное решение уравнения (1.1), описывающего колебания системы с малой нелинейностью:
dx
х = a cos ф -f г ... , у = = — aw sin ф -f- г • •. , (9.37)
§ 9] ТРАЕКТОРИИ НА ФАЗОВОЙ ПЛОСКОСТИ. ОСОБЫЕ ТОЧКИ 127
где амплитуда колебаний а и фаза ф определяются следующими уравнениями:
5Г= -8(«К )
йф , ч (9-38)
dt = (0i (а)‘ )
Выражения (9.37) представляют собой уравнения фазовых траекторий в параметрической форме. Поведение этих фазовых траекторий будет зависеть от корней уравнения
Ф (а) = аЬ(а) = 0, (9.39)
соответствующих стационарному режиму в колебательной системе, а также от знака функции (а).
Тривиальный корень а = 0 соответствует, очевидно, состоянию равновесия.
Пусть уравнение (9.39) имеет ряд корней, для которых Фа(а)=?0. Тогда мы получаем положение, изображенное на графиках типа рис. 49 или 50.
Очевидно, что в первом случае ах и а3 являются корнями уравнения (9.39), соответствующими устойчивому стационарному режиму в колебательной системе, а а2 соответствует неустойчивому режиму, а = 0 является неустойчивым состоянием равновесия. Во втором случае а = 0 будет устойчивым положением равновесия, ах и а3 соответствуют неустойчивому стационарному режиму, а а2 — устойчивому стационарному режиму.
Переходя к фазовой плоскости, мы получим точку равновесия и ряд замкнутых кривых, близких к эллипсу:
I*+^h = 1 (a = av а2, а3, ...). (9.40)
На рис. 51 и 52 приведена картина на фазовой плоскости соответственно для двух рассмотренных выше типов корней уравнения (9.39).
Таким образом, на фазовой плоскости мы получили особую точку, соответствующую нулевому корню, и замкнутые траектории, соответствую-
128
МЕТОД ФАЗОВОЙ ПЛОСКОСТИ
[Гл. II
щие корням уравнения (9.39) ах, а%, аа,... Все остальные фазовые траектории будут асимптотически стремиться к Э1им замкнутым траекториям при t—>со или при t—>—оо.
В данном случае фазовая плоскость разделена на ряд полос, целиком заполненных-интегральными кривыми, асимптотически приближающимися
к некоторой замкнутой интегральной кривой, которая называется предельным циклом, или к точке равновесия. Предельный цикл будет устойчив, если все интегральные кривые полосы достигают его при t—>co, и неустойчив, если они достигают его при t—>—оо.
Заметим, что в случае, если колебательная система консервативна, то
Ф (а) = О,
и в системе возможен стационарный периодический режим с произвольной амплитудой, зависящей только от начальных значений.
Этому случаю на фазовой плоскости соответствует семейство замкнутых циклов, окружающих особую точку типа центр (рис. 53).
Разумеется, приведенное нами рассуждение не является строгим и, самое главное, оно относится лишь к частному случаю систем, близких к линейному гармоническому вибратору, для которых возможна только одна особая точка.
ТРАЕКТОРИИ НА ФАЗОВОЙ ПЛОСКОСТИ. ОСОБЫЕ ТОЧКИ
129
Общий случай системы (9.1) был исследован Пуанкаре с помощью строгих качественных методов, причем в результате получается картина поведения траекторий на фазовой плоскости, являющаяся естественным обобщением приведенной выше.
Предположим, что система (9.1) описывает некоторый колебательный процесс. Этим самым мы исключаем из рассмотрения случай, когда на фазовой плоскости могут существовать траектории, уходящие в бесконечность.
Тогда на фазовой плоскости имеем особые точки, замкнутые траектории и сепаратрисы — интегральные кривые, проходящие через особую точку типа седла. Сепаратриса играет особую роль, так как она разделяет фазовую плоскость на ряд областей, заполненных траекториями различных типов (рис. 54).
Любая незамкнутая интегральная кривая или навивается на предельный цикл, или приближается к одной или ряду осооых ^точек.
Замкнутые циклы могут образовывать как непрерывное семейство, так и дискретное.
Картина, при которой циклы образуют непрерывное семейство с особой точкой внутри типа центра, с физической точки зрения типична для консервативных систем.
