Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний - Боголюбов Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
В этом случае вместо системы (27.105):
x(t)-f (t, 6 (t)) | < Сг (e) е-вч «-'о).
(29.34)
(29.35)
§ 30. Периодические и почти периодические решения
% = G(*) + P(t,g, h, s), % = Hh + Q(t, g, h, e),
(30.1)
выбираем систему
(30.2)
и поэтому в неравенстве (29.22) теоремы II получаем:
2 (г) = а).
(30.3)
I 30]
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ И ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ
387
«Случай периодичности» функций / (t, 0) и F (t, 0) также имеет место, если в уравнениях (27.47)
функции W (t, <р, b), B(t, 9, Ь), как об этом указывалось на стр. 351, имеют вид (27.103), т. е.
где W (t, 9, Ь), B(t, <р, Ь) обладают по отношению к t периодом Т.
Тогда в качестве системы (30.1) принимается система уравнений (27.104):
правые части которых являются периодическими функциями независимой переменной г.
В данном случае в неравенстве (29.22) теоремы II будет:
Рассматриваемый «случай периодичности» функции f(t, б) и F (t, в) представляет особый интерес, потому что здесь, опираясь на классические результаты Пуанкаре, дополненные Дапжуа, можно провести анализ структуры решений, лежащих на многообразии St.
Этим и займемся в настоящем параграфе.
Возьмем уравнение:
и будем рассматривать его решение 0 (г) как функцию от начальных значений t0, 0О = 0 (t0) и разности t —10:
Заметим теперь, что'в силу свойства периодичности правой части уравнения (30.8), т. е. функции F (t, 0) по t и 0 с периодами соответственно Т и 2%, функция Ф(и, г0, 0О) будет периодической по отношению к t0, Q0 соответственно с периодами Т и 2тс.
Пусть теперь
Тогда, полагая в (30.9) вместо t и t0 соответственно t0 -f (п -j- 1) Т и t0 + пТ, получаем:
(30.4)
(30.5)
(30.6)
(30.7)
(30.8)
0(*)=о;(*о)+ф(*-*о, к, чч))-
(30.9)
^n+1— ® {Т, to + пТ, 0П )
388 ОБОСНОВАНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ [Гл. VI
или, обозначая
Ф(0П)-Ф(7\ t0, 0„)
и учитывая, что Ф (Т, t0, 0П) — функция периодическая по г с периодом Т, имеем:
0„+1 = 0п + ф(и (30.10)
где Ф (0) является периодической функцией 0 с периодом 2-го. Ввиду того, что в условиях теоремы II § 29 мы приняли га = 2, функция Ф(0) будет обладать непрерывными производными первого и второго порядков. Далее, из уравнения (30.8), учитывая неравенство (29.23):
| 6")|<Ti*(s)|0'-0"|,
следует, что
dfln+i dbn * , . . д „ |
~dt----~dt <?7i (в)10«*х —в„[,
откуда, учитывая (30.10), непосредственно получаем:
|ф' (0)|<sp(s), (30.11)
где р (*) ¦ >¦ 0 при ? 5*- 0.
При рассматриваемых достаточно малых значениях е, для которых
sp (s) <1,
согласно (30.11) имеем:
1 Н-Ф' (0) > о- (30.12)
Таким образом, функция
F (0) = 0 —j— Ф (0) (30.13)
в силу (30.12) является монотонно возрастающей и обладает свойством периодичности «второго рода»:
F(O + 2t:) = F(0) + 2u.
Поэтому преобразование
0->F(0) (30.14)
может рассматриваться как взаимно однозначное и взаимно непрерывное отображение окружности на саму себя.
Благодаря (30.10) видим, что последовательные значения решения уравнения (30.8) в точках t = t0-\-nT получаются итерацией преобразования (30.14), исходя из начального значения 0О.
Итак, в дальнейшем вместо уравнения (30.8) и его решений будем рассматривать эквивалентное ему итерационное уравнение (30.10) и его решения.
Заметим теперь, что итерации преобразований рассматриваемого здесь типа были предметом исследований Пуанкаре и Данжуа*), в которых было установлено следующее:
1) Для решений 0П итерационного уравнения (30.10), т. е. согласно обозначению (30.13) уравнения
0n+1=*m (30.15)
*) A. Den jo у, Sur les courbes definies par les equations differentielles a la surface du tore, Journ. de Math., 11 (1932).
| 30] ПЕРИОДИЧЕСКИЕ И ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ 389
существует предел
v = Нт , (30.16)
B-tco
яе зависящий от 0О.
2) Если v иррационально, то общее решение итерационного уравнения (30.15) имеет вид
0П = 2тпп-\- ф + Е (2%т-\- ф), (30.17)
где ф —- произвольная постоянная, а Е (9) — непрерывная периодическая функция с периодом 2тс. Выражение 9 + Е (9) является монотонно возрастающей функцией, не остающейся постоянной ни в каком, сколь угодно малом интервале.
3) Если v рационально:
“ Г
v = 7 ’
где г, s — взаимно простые числа, то рассматриваемое итерационное уравнение (30.15) имеет периодические решения, для которых выполняются соотношения:
0»*.-О» = 2*г, (30.18)
причем любые решения 0П при неограниченном возрастании п приближаются к одному из таких периодических решений.
Кроме того, если 0т будет каким-либо решением рассматриваемого уравнения (30.15), исходящим из начального значения 0О, лежащего внутри интервала (0, 2чс), то для него можно указать такие постоянные ат и Зт, удовлетворяющие неравенствам:
<*т > 0. Pm > 0> <*т + Pm < 2lt, (30.19)
ЧТО
- ат < 6ms - 2%тг < Рт* (30.20)
Установим теперь ряд следствий из указанных результатов Пуанкаре — Данжуа.
Рассмотрим сначала случай иррационального v.
Заменяя в (30.19) t0 на t0-\-nT и учитывая периодичность функции Ф(г) *о> ®о) п0 *о> получаем:
в(1) = Ъп + Ф(1-10-пТ, Т0, 0П),
откуда в силу (30.17) имеем:
6 (г) = 2тп -{- ф -{- Е (2ът + ф) + Ф (< —10 — пТ, t0, 2%чп -{-
