Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний - Боголюбов Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
оказывается неустойчивым.
Если вещественные части всех корней уравнения (28.106) отрицательны, то данное многообразие, наоборот, обладает свойством притяжения близких решений:
I К -1 (*, gt, е) | < С | ht0 - / («о, gt0, 3) I e-T I '-*01. (28.107)
Следствие 2. Рассмотрим первое уравнение системы (27.105) %- = G(z)+P{t,gu ht,*)
и к правой части его добавим, а затем вычтем выражение
F (*> gt, S) = P 8t, / (t, gt, s), e)s
В результате получим:
^§- = G (s)+F(t, gt, s )+P(t, gt, ht, s) P (t, gt, / (t, gt,e), e),
% 29] ТОЧНЫЕ И ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ ОСНОВНОГО УРАВНЕНИЯ 379
ИЛИ
Применяя обычный мажорационный прием к правой части полученного равенства, учитывая при этом свойство г) функции P(t,g,h, s) (см. стр. 353), находим:
где X (г, а) —> 0 при е —> 0, а-^> 0, откуда, принимая во внимание неравенство (28.107), окончательно получаем:
Перейдем теперь к приложению лемм, доказанных в предыдущем параграфе.
Эти леммы были нами сформулированы применительно к системе уравнений (27.105), к которой было приведено при соответствующих условиях основное уравнение (27.1).
Сформулируем сейчас и докажем ряд теорем, перенеся формулировку свойств решений системы уравнений (27.105) на решения основного дифференциального уравнения (27.1), помня при этом, что в процессе приведения его к виду (27.105) была сделана замена переменной &t —> t. Начнем со случая квазистатического решения, когда выпадает зависимость от угловой перембнной. В этом случае можем сформулировать следующую теорему.
Теорема I. Пусть функция X(t,x), входящая в уравнение
имеет квазистатическое решение ? = $0.
б) Вещественные части всех п корней характеристического уравнения
соответствующих квазистатическому решению ? = &0, отличны от нуля.
= \Р {t, gt, ht, в) — Р (t, gt, / (t, gt, e), e) | < X (s, a) | ht - f (t, gt, в) |,
djL _ G (e) - F (t, gt, в) | < С X (e, a) e-* (*-‘o) |htfj - f (t0> gto, e) |. (28.108)
§ 29. Соответствие между точными и приближенными решениями основного уравнения на бесконечном интервале
(29.1)
удовлетворяет следующим условиям:
а) Уравнение первого приближения
¦5=•*•(«>’
(29.2)
(29.3)
(29.5)
(29.4)
380 ОБОСНОВАНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ 1Гл. YI
в) Можно указать такую р-окрестность Z), точки ?0, в которой X(t,x) — почти периодические функции t, равномерно по отношению к ж?1)р.
г) Функция X (t, х) и ее частные производные первого порядка по х
ограничены и равномерно непрерывны по отношению к ж в области
— оо < ? < оо, x?Dр.
Тогда можно указать такие положительные постоянные е',с0,с1
(причем а0<а1<р), что для всякого положительного г < s' справедливы следующие утверждения:
1. Уравнение (29.1) имеет единственное решение x = x*(t), определенное на всем интервале ( —оо,со), для которого
1Ж*(0 — ?о! < а0> — оо<г<со. (29.6)
2. Это решение х* (t) является почти периодическим с частотным базисом функции X(t,x).
3. Можно найти такую функцию 8 (г), стремящуюся к нулю вместе
с е, что будет иметь место
\x*{t) — &0[<8(s), — оо<г<оо, (29.7)
4. Пусть x(t) является любым решением уравнения (29.1), отличным от x*(t), удовлетворяющим при некотором t = t0 неравенству вида
1*(0-«оК«о- (29.8)
Тогда, если вещественные части всех корней характеристического уравнения (29.4) отрицательны, расстояние \x(t) — х* (t) | стремится к нулю для t—>оо, причем
\x(t) — ж* (г) |< Се—тв«-(о), (29.9)
где С и у — положительные постоянные.
Если вещественные части всех корней характеристического уравнения (29.4) положительны, то можно найти такое tx > t0, что .
I®(*i)-$0|>°i. (29.10)
Если s вещественных частей рассматриваемых корней отрицательны, а остальные п — s положительны, тогда в а0-окрестности точки ?0 существует s-мерное точечное многообразие такое, что из соотношения
®(*о)еял«*
вытекает экспоненциальное стремление к нулю (при t~-> оо) разности 1Ж(0 — Sol> а 03 соотношения
следует справедливость неравенства (29.10).
Сделаем теперь некоторые примечания к этой теореме.
Примечание 1. Как видно, в силу свойства 4) решение х* (t) будет устойчивым, и притом асимптотически, когда вещественные части всех корней рассматриваемого характеристического уравнения (29.4) отрицательны.
§ 29] ТОЧНЫЕ И ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ ОСНОВНОГО УРАВНЕНИЯ 381
Если вещественная часть хотя бы одного из корней характеристического уравнения (29.4) является положительной, решение х* (t) оказывается неустойчивым.
Примечание 2. Пусть в дополнение к условиям теоремы I X (t, х) является периодической функцией t с некоторым периодом т, не зависящим от х.
Тогда, в частности, имеем:
Поскольку частотный базис функции X (t, х) состоит в этом случае из одного числа — , видим на основании свойства 2), что в данном слу-
Z
чае решение х* (t) будет периодическим с периодом х.
Доказательство теоремы I. Справедливость теоремы I вытекает непосредственно из доказанных в предыдущем параграфе лемм.
Действительно, уравнение (29.1) в рассматриваемом квазистатическом случае путем преобразований
где Q (t, h, е) при выполнении условий настоящей теоремы удовлетворяет условиям, приведенным на стр. 353, и, следовательно, решение системы
