Основы квантовой механики - Блохинцев Д.И.
Скачать (прямая ссылка):
[ГЛ. XV
ческая постоянная. Диэлектрическая постоянная в свою очередь связана с поляризуемостью среды а соотношением е = = 1 + 4ла так, что
п2 — 1=4ла. (92.1)
Если N — число атомов в 1 см3, а Р — коэффициент поляризуемости отдельного атома, то a = $N и, следовательно,
п2—\ = 4лЛф. (92.2)
Коэффициент атомной поляризуемости р определяется из формулы
р = р?, (92.3)
где р есть электрический момент атома, а Ш — переменное электрическое поле световой волны. Задача сводится к вычислению р.
В классической теории оптический электрон рассматривался как частица, движущаяся под влиянием квазиупругой силы. Соответственно этому предположению для коэффициента поляризуемости Р получалось выражение
<92-4>
где ? — заряд электрона, ji —его масса, со0— собственная частота оптического электрона, а со — частота внешнего поля1). Если в атоме имеются электроны, обладающие различными собственными частотами со0, соь со2, ..., соь ..., и число электронов с частотой со/, есть fky то вместо (92.4) следует иметь в виду более общую формулу
(92.5)
k
>-*2-
Число fk можно также рассматривать как число осцилляторов в атоме, обладающих собственной частотой со*. Формула правильно описывает дисперсию в смысле зависимости [5 (а стало быть, и показателя преломления) от частоты падающего света со. Однако удивительным образом опыт приводил к тому, что числа fk оказывались меньшими единицы.
Мы перейдем теперь к изложению квантовой теории дисперсии, которая приводит для когерентного рассеяния к той же формуле (92.5), что и классическая теория. Но при этом величины fk уже не являются числами электронов k-ro сорта, а имеют совсем другой смысл. Поэтому мы будем называть fk иначе, а именно, согласно установившейся терминологии, —силой осци л л ятор а.
!) См. Г. С. Ландсберг, Оптика, «Наука», 1976.
§ 92] ДИСПЕРСИЯ 389
Квантовая теория позволяет вычислить силы осцилляторов fk в полном согласии с опытными данными.
Задача о дисперсии света в квантовой теории может быть поставлена в полную параллель с квантовой теорией излучения и поглощения света. Подобно тому, как в этих последних случаях разыскивается вероятность поглощения или излучения кванта света, так и в случае дисперсии можно искать вероятность того, что первоначальный квант света (падающий пучок) изменит в результате взаимодействия с атомом направление своего импульса, а в общем случае и свою энергию.
Мы, однако, базируясь на принципе соответствия, пойдем более простым и более близким классической теории путем. Именно, мы найдем электрический момент р(/), который возникает в атоме, находящемся в переменном поле световой волны. Свет мы будем предполагать монохроматическим, частоты со. Ограничиваясь опять случаем, когда длина волны к много больше размеров квантовой системы а, мы можем написать электрическое поле световой волны 8 (t) внутри системы (атома или молекулы) в виде
Ш = Ш0 cos (at. (92.6)
Пусть атом до включения светового поля находился на одном из своих квантовых уровней Еп, собственная функция, соответствующая этому состоянию, пусть будет (г, /).
При наличии светового поля состояние атома будет иным (в нем будут возникать вынужденные колебания). Пусть это состояние описывается функцией (г, /). Эта функция должна удовлетворять уравнению Шредингера
=Н°хрп+Щп, (92.7)
где Н° есть оператор полной энергии системы (в отсутствие светового поля), а ^ — возмущение, вызываемое световой волной. Согласно (92.6) W равняется
W = e(?0r)coswt. (92.8)
Для решения уравнения (92.7) представим в виде % (г, t) = % (г) ‘’%Ч «я (г) ё~ ‘<(г) е~1 <ш»+*>
(92.9)
?
где — а ип и vn суть искомые поправки к Функция есть функция стационарного состояния невозмущенной системы
#°Чй = ?Ж. (92.10)
390 ИЗЛУЧЕНИЕ, ПОГЛОЩЕНИЕ И РАССЕЯНИЕ СВЕТА [ГЛ. XV
Подставим (92.9) в уравнение (92.7) и в первом приближении пренебрежем произведениями Wun, Wvn (так как эти члены будут пропорциональны §2 и уже относятся ко второму приближению). Тогда мы получим
U (со„ — со) ипе1(й1 + Й (сод + w) vne~m — Н°ипеш + HQvne~m +
+ e(g0r)-----±----------1$. (92.11)
Приравнивая здесь коэффициенты при компонентах Фурье, мы получим уравнения для ип и vn:
ЙК-(о)мя=Я°«„ + ^|^< (92.12)
Н(<0л + ч>)0я=Й°у11+Щ?-Гп. (92.12')
Для решения этих уравнений разложим ы и v в ряды по ортогональным функциям
и« = 2Ля/1|>?, (92.13)
I
(92-1зо
i
Подставляя эти выражения для и„ и vn в (92.12) и (92.12') и
имея в виду, что функции я)з? удовлетворяют уравнению Я°т|)? =
= ?$?, мы находим
= (92.14)
П ^ Вп1 К - «>/.+ о») = е Г- (92.14')
I
Умножим эти уравнения на г|)&* и проинтегрируем по всему пространству. Тогда в силу ортогональности функций г|$* получим
Й (©« - ш* - ю) Апк = у ^ i$* (?0r) dv, (92.15)
A (ft)„ — щ + ю) ^ (?0г) С dv. (92.15')
Отсюда находим Апк и Впк:
<КЛ6>
<92-,6'>
где
Er — Е k
®nk = С0Л — С0^ = я п *-
ДИСПЕРСИЯ
391
суть собственные частоты атома, a D*,* есть матричный элемент вектора электрического момента.
Из (92.16) и (92.16') следует, что примененный нами метод решения уравнений (92.14) и (92.14') пригоден лишь тогда, когда частота падающего света о не совпадает ни с одним из собственных частот атома (Од*, т. е. вдали от резонанса. Необходимая стелень удаления от со = сол^ определяется условием
