Основы квантовой механики - Блохинцев Д.И.
Скачать (прямая ссылка):
!) См. (25Л6).
2) См., например, В. И. Смирнов, Курс высшей математики, т. III,
ч. II, «Наука», 1969, стр. 558.
338
ТЕОРИЯ СТОЛКНОВЕНИЙ
[ГЛ. XIII
(точка г = 0). Каждый член суммы (80.9) есть сам по себе решение уравнения (80.1) при У(г) = 0, т. е. для свободного движения, принадлежащее заданному моменту импульса (число /). При больших г имеем
Полагая еще
Ji+4l (kr)r^ = YWrsln{kr-%\ (80Л°)
(80.11)
/ = о
мы можем представить асимптотическое выражение для -ф (г, 6) (80.5) в виде
^ (^> 0)г->ОО —
.Л/1
(2/+ 1)е~2
ikr — i
. л I
— ikr -f- i
2 ikr 2 ikr
Сравнивая (80.12) почленно с (80.8), находим
Jt/\
J] Aieik>-
2ikr
.л I
Cze_ni' = (2/+l)e 2
= (2/'+1) + Л„
откуда
At — (2l + 1) (e2ir>l— l).
Стало быть, амплитуда рассеянной волны А (0) равна
(80.12)
(80.13) (80.13')
(80.14)
Искомое эффективное сечение, согласно (78.10), есть попросту | А (8) |2:
2
0(6) =
1
2 (2/ + 1) (e2ttl* — \) Pi ’(cos 0)
1 = 0
(80.16)
Полное эффективное сечение для упругого рассеяния будет равнох)
0-Jcr(0)dQ = g2 (2/+l)shv
4i-
(80.17)
1 = 0
г) Так как V Pj (cos 6) dQ = 4л
4л
•(2/+1)
$ Pi (cos 0) Pr (cos 6) dQ =0 (l ф I').
4Л
ТОЧНАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ. МАТРИЦА РАССЕЯНИЯ
339
Отсюда мы видим, что как дифференциальное, так и полное сечение вполне определяются фазами рассеянных волн ту. Часть полного сечения
°t = ]? (2/ + 1) sin2 ri/ (80.18)
есть эффективное сечение для частиц, обладающих квадратом момента импульса М2 — ЬЧ (/ + 1) относительно центра сил. Эффективное сечение at часто называют «парциальным». На рассеяние можно распространить систематику термов, принятую для дискретных состояний. Тогда говорят об (««-рассеянии (/ = 0), «/^-рассеянии (/ = 1) и т. д. «5»-рассеяние сферически симметрично, «р»-рассеяние обладает симметрией диполя. Проводя параллель с классической механикой, можно сказать, что рассеяние /-го порядка соответствует частицам, проходящим на расстоянии рг от центра сил (р* — параметр удара), причем
Pt = п[Ч(‘+1)- = А УЦГЩ, (80.19)
где р — импульс частицы, Я —длина волны1).
В квантовой механике состояние с определенным моментом не соответствует какому-либо определенному параметру удара р. Однако радиальные волновые функции (г) имеют максимум около г = Р/. На рис. 65 заштрихованы области, где??/(г) заметно отлично от нуля.
Как следует из (80.16) и (80.17), для определения рассеяния достаточно знать фазы рассеянных волн rj. Для нахождения их требуется найти решение уравнения (80.3) с асимптотическим поведением (80.7). Задача эта не является простой. В общем случае необходимо численное интегрирование2).
Если число существенных фаз невелико, то разумно представить экспериментально определяемое сечение а (0) через эти фазы. Такой способ анализа опытных данных называется фазовым анализом.
Как видно из формулы (80.18), максимальное парциальное сече-ние равно ~ (2Z+ 1) = -- (2/+ 1). Если фаза г], мала, то а, =
к я
4зт о л
= (2/+ 1) ЦЬ В том случае, когда все фазы > целесооб-
разно применять метод Борна и вычислять (или определять из опыта) непосредственно А (0).
Рассмотрим теперь парциальные волны, принадлежащие орбитальному моменту /, на больших расстояниях от рассеивающего
*) По классической механике М = рр, р — М/р.
2) Только для кулоновского поля ряд (80.15) суммируется в конечном виде и ведет к формуле Резерфорда.
340
ТЕОРИЯ СТОЛКНОВЕНИЙ
(ГЛ. XIII
центра. Из (80.8) видно, что такую парциальную волну можно представить в виде суперпозиции первичной, сходящейся волны
Н- i kr
и рассеянной, расходящейся волны
'-т)
0)г
причем
i (2/+ 1) Pt (cos 0) 2k
.л/
— i [kr —
л/
-fl kr —
л/
(80.20)
S, = e'2t\ (80.21)
Очевидно, что величина S, определяет отношение амплитуды расходящейся волны к амплитуде сходящихся, первичных волн,
S)
Рис. 65. Радиальные волновые функции.
a) «s»* рассе ян не, р0 ** 0, б) «р»-рассеянис. Заштрихованы области, где R} (г) заметно отлично от нуля.
имеющих заданный орбитальный момент I и заданную энергию
Е Иначе говоря, она преобразует волны, приходящие
из — оо в волны, уходящие в +оо, и поэтому является частным видом матрицы рассеяния для парциальных волн, общее определение которой было дано в § 44. В рассматриваемом теперь случае она имеет диагональный вид
5Лт;/% т. = ((“Ъ (Е%' ¦ бтт. (80.22)
и, в отличие от определения, данного в § 44, не содержит явно моментов времени /, /0 по той причине, что в этом параграфе мы пользуемся стационарным методом решения уравнения Шредингера, считая волновую функцию пропорциональной множи-
-± ?(/-/„)
телю е п
В. Гайзенберг (1942) высказал интересное предположение о том, что в релятивистской квантовой механике волновая функция на
ТОЧНАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ. МАТРИЦА РАССЕЯНИЯ
341
малых расстояниях между частицами может быть вообще лишена физического смысла. Физический смысл сохраняется лишь за волновыми функциями на бесконечности. Так как оператор S = е?ч (г) — оператор фазы) как раз определяет поведение волновой функции на бесконечности, то Гайзенберг предположил, что оператор фазы т| является более фундаментальной величиной, нежели оператор Гамильтониана Н. Казалось бы, что без модификации самой теории относительности для малых пространственно-временных масштабов вообще нет необходимости заменять чем-либо теорию, основанную на гамильтоновом методе. Тем не менее идея Гайзенберга об особом значении матрицы рассеяния оказалась исключительно полезной в теории элементарных частиц, так как именно аппарат матрицы рассеяния позволяет обойти некоторые принципиальные трудности в этой теории.
