Основы квантовой механики - Блохинцев Д.И.
Скачать (прямая ссылка):
Зная плотность электронов внутри атома, мы можем с помощью (79.2) определить энергию взаимодействия U (г) между атомом и рассеиваемым электроном. Таким образом из опытов по упругому рассеянию частиц может быть определен характер действующих на эти частицы сил.
Еще более непосредственно этот же вывод следует из формул (78.24). Амплитуда рассеянных волн А (б) зависит от б только через вектор К (78.23), поэтому ее можно рассматривать как функцию К, т. е. Л=Л(К). Обращая тогда интеграл Фурье (78.24), найдем
Рис. 64, Плотность электрического заряда в Не как функция расстояния г.
1 — по рассеянию электронов; 2 — по рассеянию рентгеновских лучей, 3 — теоретическая.
U {Г):
2дй2 1
+ 00
в- iKrA (К) dKx dKy dKz. (79.24)
Поэтому, зная из опыта А (К), мы найдем U (г), т. е. энергию взаимодействия.
При этом нужно иметь в виду еще следующее. На опыте мы не определяем непосредственно А (К), а определяем эффективное сечение о (б) = | А (К) Г2. Поэтому, зная о (б), мы можем найти А (К) только в том случае, если амплитуда А (К) действительна. В противном случае фаза амплитуды А (К) остается неизвестной. Как видно из (78.24), Л (К) будет действительна, если U (г) = =---(/( — г), в частности, для центральных сил. Далее, обращение интеграла
(79.24) требует интегрирования по Кх> Ку, Кг от — оо до -J-co. Стало быть, для нахождения U (г) мы должны знать рассеяние для бесконечно больших импульсов рассеиваемых частиц (так как 0 ^ К ^ 2pjk = 4л/А). Ограничиваясь
336 ТЕОРИЯ СТОЛКНОВЕНИЙ [ГЛ. XIII
импульсом р (энергией ? = р2/2|д), мы можем вычислить лишь часть интеграла
(79.24):
^ h
0 (г) = ¦- ~ ~ § J J ё~ КтА (К) dKxdKy, dKz. (79.24')
_2р
Ь,
Если отброшенная часть интеграла мала, то вместо истинной потенциальной энергии U (г) мы получаем сглаженную U (г), т. е. из опыта по рассеянию частиц с импульсом р, следовательно, с длиной волны Х = 2лН/р, нельзя сделать вывода об изменениях U (г) на масштабах порядка X, так как в интеграле (79.24') отсутствуют гармоники е~ lKr с К > 4лД = 2р//г. Это есть выражение хорошо известного факта, согласно которому нельзя получить изображение деталей объекта, размеры которых меньше длины волны, применяемого для освещения света *).
§ 80. Точная теория рассеяния. Матрица рассеяния
Обратимся теперь к точному решению уравнения (78. Г):
Vhp + k2ty=V(r)y. (80.1)
Это уравнение отличается от уравнения (49.2), подробно рассмотренного в отделе общей теории движения в поле центральной силы, только множителем —2\л/й2 и порядком расположения членов. Поэтому собственное решение уравнения (80.1), принадлежащее энергии Е = h2k2/2\i, квадрату момента импульса Af2 = ft2/(/+1) и проекции момента Mz = hm, согласно (49.4), будет
Vim (г, 9. ф) = Ri (г) Ylm (0, ф), (80.2)
причем, если положить Ri = Ui/r, то из (80.1) получим уравнение
для ut\
^ + (k2 - / (/rt1})»; = V (г) uh (80.3)
совпадающее по существу с уравнением (49.10). Общее решение уравнения (80.1), принадлежащее энергии Е ~h2k2/2ц,, может быть написано в виде разложения по ортогональным функциям b,m(r,G, <р):
ОО Ш = + /
я|з (г, 0, ф) = ^ Ц cimRi{r)Yhm{b, ф). (80.4)
Представляя решение в форме (80.4), мы тем самым ищем его
в виде суперпозиции состояний, отличающихся значением момента импульса (число /), и его проекции на ось OZ (число /п).
х) Разумеется, что эти же замечания полностью относятся также к определению р (г) \ерез интеграл (79.23).
§ 80] ТОЧНАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ. МАТРИЦА РАССЕЯНИЯ 337
Для задачи рассеяния нам нужно, как было объяснено в § 78, найти такое частное решение, которое асимптотически имело бы вид
IV-«, = *•** +Л (9)^, (80.5)
т. е. представляло бы наложение первичной, плоской волны и волны рассеянной. Это решение обладает симметрией вращения около оси OZ и поэтому не зависит от угла ср. Частное решение, не зависящее от ф, получится из (80.4), если там откинуть все члены суммы сш^О. Так как У/0(е» ф) только множителем отличается от полинома Лежандра Pt(COS0)1), то мы можем представить искомое решение в виде
оо
’l5 (г, 0) = 2 ciRi (r) Pi (cos 8)- (80.6)
1 = 0
Дальнейшая задача заключается в определении амплитуд Ci. Рассмотрим, каково будет асимптотическое выражение для функции
(80.6). Согласно (49.16') Ri(r) при г-+ оо имеет вид А -п-^+ .
Для удобства дальнейших вычислений целесообразно положить
зх/
at — — -2+'Пг и выбрать такую нормировку для функции Rt{r), что А — l/k. Тогда
sin (kr — j+4i\
*,(,),_„ = —---------------L. (80.7)
При таком выборе нормировки асимптотическое выражение для функции я)? (г, 9) получает вид
оо ( ikr ~~1 т + ini ~Шг + х - 1Ч \
Ч5 (г> 0)л-»со— 2 CiPt (COS 0) I 2ifcr 2ikr )' (80-8)
1 = 0 '
Теперь следует выбрать Ct так, чтобы (80.8) совпало с (80.5). Для этого разложим плоскую волну eikz = eikrcose по полиномам Лежандра. Это разложение имеет вид2)
оо . л/ !---
е** = 2 (2/ +1) е‘ *" V 2F Jl+v. ('kr) р‘ (cos 0)- (80-9)
/ = 0 г
где У/+1/2 (kr) есть функция Бесселя порядка / + V2. Физически это разложение означает представление плоской волны в виде суперпозиции стоячих, сферических волн, т. е. разложение по состояниям с различным моментом импульса относительно начала координат
