Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 2 - Бирман Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Перепишем (3.45) таким образом, чтобы выражение для интенсивности света имело вид
2п + п = С | Ъ ft)a R% Ыр Г> (5-1)
где &п->п — интенсивность комбинационного рассеяния света при переходе из колебательного состояния ]хо«) в состояние | Код)» а (е0а и (ея/)Р — Декартовы компоненты векторов поляризации падающего и рассеянного фотонов с индексами а р р.
Взаимодействие излучения с веществом
43
Тензор рассеяния определяется формулой
лг? — 2; (Хол | | Хо„>- (5.2)
Как показано в § 3, в пределе k\ — k2 = Г оператор поляризуемости P(R, k2— k\) по отношению к переменной R является симметричным тензором второго ранга. Полезно напомнить, что требование симметричности тензора рассеяния следует из отсутствия в матричных элементах <9v|e-]Lial9n) из (3.31) какой-либо структуры и из того, как это обстоятельство проявляется в
(3.48). При микроскопическом рассмотрении в § 6 мы откажемся от этого требования. Тогда правило преобразования по отношению к декартовым индексам (о, р) имеет вид
(5<3)
где [0(,,)](2) — симметризованный квадрат векторного представления. Для любой пространственной группы представление (5.3) можно разложить на неприводимые компоненты:
[о‘%,=?(Ми1г0°(ГМЛ-
Уже из (5.1) можно заключить, что должны наблюдаться эффекты поляризации и анизотропии, обусловленные поляризацией падающего и рассеянного света.
Исследуем теперь этот вопрос более подробно, ограничиваясь по-прежнему рассмотрением случая k2 = k\ — 0. Прежде всего
( k
введем в рассмотрение нормальные координаты QI .
зующие по предположению базисы представлений D(k) (/). Тогда в (5.1) квантовые числа {п} и {Я}, нумерующие колебательные состояния решетки j %п} и | хй)> соответствуют этим нормальным координатам. Можно записать
(M‘,)}k)-*(KJ-<D)- &Л)
Для анализа матричного элемента перехода (5.2) рассмотрим аналогичное (3.58) разложение величины Pap(R) в ряд по степеням нормальных координат, которое теперь можно записать в виде
Рвр(Я) = Р$ + УЧр’Гг!* WJ )+ .... (5.5)
А,ц 4
Подставляя (5.5) в (5.2), видим, что матричный элемент разбивается на сумму отдельных матричных элементов, каждый из
44
Глава 1
которых соответствует одной нормальной координате и отличается от нуля лишь в том случае, когда число заполнения
соответствующего осциллятора изменяется (в нашем случае увеличивается) на единицу. Таким образом, интенсивность однофо-нонного комбинационного рассеяния света с рождением кванта
Величина Рар (сг, р—1,2, 3) является симметричным
тензором комбинационного рассеяния. Если теперь опустить в обозначениях верхний индекс и индекс Г, то следует помнить, что рассматриваемый тензор соответствует случаю бесконечно большой длины волны света; будем обозначать его Pap(k)/,*). Ясно, что именно этот коэффициент определяет интенсивность однофононного комбинационного рассеяния.
Рассмотрим теперь элемент симметрии {<р|т} группы <3. Применим эту операцию симметрии к равенству (5.5). Тогда получим .
= § ад,. „„ Рч, «ф I «г'-*) - р., <*>• (5-7)
Здесь Dw (<f)(2) — симметризованный квадрат представления D(v), определяющий правила преобразования индексов декартовых компонент (сг, р); последнее равенство следует из того, что {ф| т} является элементом симметрии. Последние два члена уравнения можно было бы разложить по степеням нормальных координат и затем приравнивать эти разложения почленно, используя правило (т. 1, 86.30) для преобразования нормальных координат. Эквивалентный, но более удобный способ рассмотрения состоит в том, чтобы предположить, что при фиксированных
а, р величины Р<тр(&/ц) преобразуются как базисные функции соответствующих представлений:
где {фа, | Тд} входит в группу © (к). Подставляя (5.8) в (5.7), получаем
заданного колебания Q можно записать в виде
^ (*¦ /„) = С s I ? (ewPg (Г 1?„)е|0)2 • (5.6)
М' I ор
VI (К I ’Л- (*'«)• <5-8)
Р,, W “ [DW ЫЛр. „„ “ <('И I 1>Л'„ P.t Wv). (5.9)
Взаимодействие излучения с веществом
45
При обычном подходе, чтобы определить независимые отличные от нуля элементы ЛтР(&/ц), это уравнение используется несколько раз при разных {фА,|и} из группы ®(k) [27].
Пусть U — унитарная матрица, производящая полное приведение представления D$:
?/_ID$t/ = A, (б.Юа)
где _
= (5.106)
Предположим, что представление D(v) неприводимо и что каждое из представлений D(l) входит в приведенное выражение А один раз. Тогда, если 5 — элемент группы ®(k), то (5.10а) можно записать в виде
[°"° №«]„„ „„ = Е, (W>'“ (S)„.№-„U. (5.11)
Подставим теперь (5.11) в (5.9) и просуммируем результат по
всем элементам 5. Используя соотношения ортогональности и нормировки, получим
'Л» (*« = ? (кК). (5-12)
где lj — размерность представления
Это уравнение легко решается подстановкой
(5.13)
В этом и состоит основной результат. Элементы тензора рассеяния представляют собой коэффициенты Клебша — Гордана. Постоянная c(kj) зависит только от неприводимого представления. Такой результат поясняет физический и математический смысл элементов тензора рассеяния.
Полученный результат можно обобщить на случай рассеяния второго порядка, а также отказаться от предположений, что представление D(*! неприводимо и что каждое jвходит в приведенное выражение А только один раз. Эти вопросы обсуждаются в литературе в связи с приложением к конкретным случаям [25, 26].
