Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 2 - Бирман Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Во всяком случае, при анализе матричных элементов и выводе правил отбора для инфракрасного поглощения и комбинационного рассеяния света в диэлектриках мы будем считать, что член, пропорциональный А2, пренебрежимо мал.
§ 4. Правило альтернативного запрета для некоторых двухфононных обертонов в спектрах инфракрасного поглощения и комбинационного рассеяния света в кристаллах с центром инверсии
Прежде чем продолжить рассмотрение процесов инфракрасного поглощения и комбинационного рассеяния света, мы установим важный и весьма общий результат для двухфононных комбинаций специального вида, называемых обертонами. Для двухфононного инфракрасного поглощения имеются общие формулы (2.52) — (2.58), а для двухфононного комбинационного рассеяния света — формулы (3.56) — (3.63). Для последующего рас* смотрения важны правила (2.55) и (3.53).
Для определенности рассмотрим эти правила для кристалла, пространственная группа @ которого содержит операцию инверсии. Рассмотрим процесс инфракрасного поглощения или комбинационного рассеяния света с испусканием двух одинаковых
38
Глава 1
(к \
фононов, дающих обертон. Обертон колебания Ql . I будет
V S[L /
активным в инфракрасном поглощении, если
(ГВД^Гг^О, (4.1)
и тот же обертон будет активным в комбинационном рассеянии света, если
(4.2)
Будем считать, что длина волны излучения, от которой зависят оператор момента М (*. Г) и оператор поляризуемости бесконечна:
? = —й2 = Г=(0, 0, 0).
Нам следует теперь определить симметризованный квадрат представления, по которому преобразуется координата фонона
Ql . I для случая, когда пространственная группа содержит \ l)i '
операцию инверсии. Рассмотрим обертон колебания, относящегося к волновому вектору k общего типа и к звезде *k общего
типа. Совокупность нормальных координат q( . 1 gp-кратно
\ l\i /
вырожденного состояния преобразуется по представлению ?)(**) (/')
Вследствие предположения, кто k — волновой вектор общего вида и *k — звезда общего типа, справедливы соотношения (т. 1, 38.1), (т. 1, 45.4), (т. 1, 45.7), относящиеся к структуре матриц этого представления. Далее, если *k— звезда общего типа и кристалл имеет центр инверсии, то набор волновых векторов *k можно сгруппировать так, чтобы каждому волновому
вектору ki соответствовал вектор —kr.
**-(*.- ь.......Чв- -KJ- «•»
Тогда среди произведений функций, преобразующихся по сим-метризованному квадрату представления
[?><**> (%>, (4.4)
полному волновому вектору Г, очевидно, соответствуют только произведения вида
ф(М</>.ф(-М</>, /=1,...,^. (4.5)
[Разумеется, в (4.4) входят также все остальные произведения звезд, но мы их не рассматриваем.]
Взаимодействие излучения с веществом
39
Рассмотрим пространство, заданное набором произведений вида (4.5):
2<г) == ^(*.) ф . ^(-л.) d)t . _(4,6) Размерность этого представления равна
Х(Г) ({е 10}) = gpi2. (4.7)
Для любого элемента {<р|т(<р)}, являющегося чистым поворотом, по определению
*Р ‘ km ^ knf (4.8)
Однако если (р = », где i — инверсия, то
i-km = — km (4.9)
и
= (4.10)
Следовательно, остающиеся характеры представления, заданного в пространстве (4.6), имеют вид
Х<Г)({* Iт (*)}) =* gp/2> (4.11)
а для всех других элементов
Х|Г) ({ф Iт (ф)}) = 0. (4.12)
Для любой пространственной группы © полная точечная группа
^ = ©/? (4.13)
достаточна для классификации представлений в точке Г, так как ф(Г) = Для точечной группы, соответствующей пространственной группе с инверсией, имеем
= <р2, (pgp/2, i, iiр2, * ’ *Pgp/2 • (4.14)
Таким образом, точечная группа пространственной группы, содержащей инверсию, является прямым произведением группы более низкого порядка на группу четности С,-. Следовательно, неприводимые представления группы $ делятся на четные и нечетные:
Х(/±)(*ФР) = ±Х!/±)(<РР). (4.15)
Тогда из (4.7) и (4.11) следует, что характер х<Г) симметричного квадрата представления можно разложить в сумму вида
Х(Г)= Z Л/+Х(/+), (4.16)
/+
в которую входят только характеры четных представлений. Для определения коэффициентов разложения
п1+ = (Г | / +)
40
Глава 1
можно использовать обычные формулы, подобные формулам разложения регулярного представления любой конечной группы. Получим
(Г I / +) = - У Х(Г) (Я) Х(/ +) (RT, (4.17)
gP Ai
где суммирование проводится по всем элементам группы Ц5. В таком случае
(г1/ +) — //+. (4.18)
Следовательно, в разложение входят все четные представления группы $ с кратностью, определяемой их размерностью Z/+.
Рассмотрим, наконец, представления, по которым преобразуются вектор и симметричный тензор второго ранга при преобразованиях группы ф. Обозначим соответствующие системы характеров через х<ю) и Для любого вектора v =з (х, у, г)
(itp) = — (<р). (4.19)
Следовательно,
(4.20)
/-
Таким образом, для группы, содержащей инверсию, в разложение x(t,) входят только нечетные представления. Для симметричного тензора второго ранга [г>](2) имеем
%('*!(2)) (,р) 1[хм (ф2) + (х(г,) (ф))2] = %([vh2)) (*<р)- (4.21)
Следовательно,
Х(Го1(2>)=Е(М(2)| Л-)х(/+). (4.22)
Таким образом, представление, по которому преобразуется симметричный тензор второго ранга, разлагается на сумму четных представлений группы ф. Какие именно (v\j—) и ([р](2)|/+) отличны от нуля, зависит в каждом случае от свойств группы ф.
