Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 1 - Бирман Дж.
Скачать (прямая ссылка):
р"чЯ ( ?).= ? «<Р | (})„, -<109'27>
Применение теоретико-группового анализа
333
Если (109.27) подставить в (109.26), то мы получим гамильтониан в штрихованных переменных
Ml({Q'}, {Q'}) = ^/ {{P^\t)Q}, {Р{<р I oQ}). (109.28)
Написав k0 справа в (109.27), мы учитываем возможность того, что P{<t\t) не входит в группу ®{k). Тогда квадратичная форма (109.26) преобразуется к виду '
- т Е Е Е Е Е ЕD<**’< w '1 w.„ о'**1 <» (w i х
(m29)
По предположению представление является унитар-
ным. Отсюда
(?>(**) (Л)+ = (?)(**) (Л)-1 (109.30)
или
(D(*ft) (У))’ = (D(**) (Л)"1. (109.31)
В матричных элементах это соотношение имеет вид
(D(**) У))* v = (?>(**) (/))-* (109.32)
или
/)(**) (Л ({ф 1f})oVo|i = />(**) W) ({ФI #}_1Uv (Ю9.33)
Отсюда сумму по ц. и о в (109.29) можно записать в виде
Z Е D(*k) (Л ({ф 1*} W** (/) ({ср I =
а ц
=/>(**)«>({ ф1/}{ф|1}"1)оТО'я=
= ?><**)</> ({е | 0})aWv, == 6v»v'A (ft* - М. (Ю9.34) Тогда для (109.29) получим
В качестве следующего шага мы можем просуммировать по всем колебательным ветвям /, которые входят в (109.24). Таким образом, мы убедились в том, что гамильтониан при действии операций симметрии ведет себя как скалярный инвариант.
Наше доказательство инвариантности Ж хотя и полезное, не является полным. Оно должно следовать из явного вида Ж и иметь физические причины. Напомним теорему, согласно которой
334
Глава 10
для конечных групп можно построить эрмитов квадратичный инвариант по заданным неприводимым представлениям единственным образом, а именно в форме билинейного произведения базисных векторов самих на себя (эрмитова квадратичная форма), откуда следует, что (109.24) должно быть скаляром. Этим свойством мы воспользуемся в § 116, так что важно доказать его здесь.
Чтобы выйти за рамки гармонического приближения, нужно включить ангармонический потенциал (109.9) в Ж. Таким-обра-зом, полный классический гамильтониан решетки равен
Ряд (109.37) состоит из суммы членов, имеющих вид соответствующим образом симметризованных степеней нормальных координат. Он должен удовлетворять всем требованиям симметрии в проблеме динамики решетки. После небольшого отступления мы вернемся к его обсуждению.
б. Силовые постоянные. При конкретных вычислениях частот фононов в динамике решетки часто интересуются получением выражения для потенциальной энергии кристалла V через минимальный набор неизвестных силовых постоянных в выражениях для Ф(2), как это видно, например, из (67.8). При этом потенциальную энергию V нужно выразить в виде обрезанного разложения, содержащего конечное число членов в сумме (67.8). Обсудим теперь кратко применение симметрии для определения этих силовых постоянных (см., например, [6], стр. 286—288).
Рассмотрим использование преобразований симметрии для анализа члена второго порядка (гармонического члена):
где в качестве взят оператор кристаллической симметрии, поворотная часть которого равна <р. Рассмотрим теперь совокупность операций в группе <3, которые оставляют инвариантным
Эта совокупность образует подгруппу группы ®. В симморфных
где
<^ПОЛН — VА,
VA = ф(3) -f ... +ф№+ ....
(109.36)
(109.37)
(109.39)
группах эта подгруппа является подгруппой группы ф, т. е, то-
' (I V \
чечной группы кристалла.'Пусть эта подгруппа ©I , I оп-
\ X X /
Применение теоретико-группового анализа
335
ределена так, что для любого элемента <р\ этой группы имеем
-('О-'СОЬСЬС')
Тогда для любого элемента фя этой группы:
или
ф«(\ *-) (Ш41>
4 Ч’я, ФА, '
(I V \
где фх принимает значения всех элементов группы © I , I,
ч \ )С X /
можно получить разнообразные соотношения между силовыми постоянными, относящимися к фиксированной паре индексов
(I V \
I , I. Таким способом можно получить полный набор незави-
\ X X /
симых силовых постоянных, связанных с выбранной парой индексов.
Группу ® можно разложить по смежным классам относитель-(I V \
но © I , I. Пусть теперь {ф|*}— элемент симметрии, не /1 V \
принадлежащий к © I , I. Тогда для этого элемента (109.38)
\ X X /
будет соотношением между силовыми постоянными одной «обо-
(I V \
лочки». Таким образом, если I , 1 соответствует определен-
\ X X /
ной паре вторых соседей, то ( ф ф ^ будет соответствовать дру-
\«ф V'
гой эквивалентной паре и силовые постоянные будут связаны соответствующим образом через (109.42).
Правила определения совокупности независимых силовых постоянных, соответствующих некоторой «оболочке» соседей в Ф(2>, ясны. Производя незначительные изменения в рассуждениях, можно определить минимальный набор силовых постоянных для произвольной «оболочки» в члене любого порядка в разложении
(109.7). Однако это не является нашей главной задачей, и читателя можно отослать к рассмотрению, данному Либфридом [5], Либфридом и Людвигом [6] и также Лэксом [68], который об" суждал группу химической связи.
336
Глава 10
в. Ангармонические члены в потенциальной энергии. Чтобы
установить ограничения, которые симметрия накладывает на коэффициенты разложения V, мы преобразуем (109.9) от выражения, зависящего от декартовых координат смещений к комп-
