Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 1 - Бирман Дж.
Скачать (прямая ссылка):
z(107-2S)
Таким образом, нам нужно выяснить условия обращения в нуль величины (107.28). Имея в виду рассмотрение § 106, перепишем (107.28) в форме скалярного произведения, которое там определено:
(*(|‘;).^.Л(*),/(|?))' (107.29)
Сравнивая это выражение с (106.20) и последующими выражениями, находим, что оно имеет вид матричного элемента некоторого оператора
0(ft)BE(g-V*D(ft))v (107.30)
взятого по вырожденным собственным векторам, относящимся к собственному значению <o2(feo|/)- В (107.29), (107.30) индекс k0 у градиента динамической матрицы означает, что эта величина должна вычисляться в точке k0.
В первую очередь мы должны установить трансформационные свойства оператора (107.30). Для этого построим величину
PMt)(l-VkD(k))Prv\t], (107.31)
которая равна
P{<*\t) (S • V*) P(v\t} • P{<t| t}D(k) Р{Ф1|t). (107.32)
В (12.1) — (12.5) мы определили операторы P{<p i*}, действующие на функции в конфигурационном пространстве; затем в (30.1) — (30.10) мы установили действие такого оператора на блоховские функции. Так как оператор (§ • V*) не зависит от г, можно написать
Pm^S-V^P^1, ,,=='(&. V*). . (107.33)
Применение теоретико-группового анализа
319
Затем из (107.33) и (81.26) получим
Р<Ф| 4 а • VkD (Щ РГ,\,> = (!• V*) D (ф • К). (107.34)
Прежде чем продвинуться дальше, напомним, что в ряде Тей-
лора (107.20) производные следует вычислять в точке k0, как это и указано в аргументе. Кроме того, мы имеем
V* (ехр — йр • k • Rl) = V* (exp — ik ¦ ф''Rl) =
= (— г'ф-1 • Rl) exp — ik • ф~' • RL =
= (— г'ф-1 • Rl) exp — щ • k - Rl. (107.35)
Далее, так как в (81.24) — (81.26)
D (ф • k) = P(<t'ft) [МГ'к [Ф (0)] [ЛГГ'Ч
получаем
а • v*) D (ф • к) = (| ¦ V*) Р(ф-А) [МГУ> [Ф (0)] [М]-'А. (107.36)
Тогда из (107.36), (107.35) и из определения оператора Р(ф'* в (81.14) имеем
(|. V*) p(*-‘)==(*-ftb).V*p(*-‘) =
=(* —*to) Е (-/ф-1 • ^) 0(ф-А) «е I-ад* Р{е|-^}= (107.37) {ЕI -%}
= (*-*о)-Ф-1 ? (-i*N)D«-*4{e\-RN}rP{4-RN]. (107.38)
{е|-Лдг}
Но градиент в (107.36) следует вычислять в точке k0. Следовательно, под знаком суммы в (107.38) мы можем взять
?)(Ф-А) _> ?)(<Р *<)).
Пусть теперь Р{ф|*}— некоторый элемент группы © (?0)- Тогда
?)(ф-*„) = ?)(*,). (107.39)
При этом (107.38) преобразуется к виду
(Ф • (й — *о)) • I (-/^)?)(« ({е|-ад*Р{?,_%}. (107.40)
Но сумма в (107.40), очевидно, равна
(V*PW)v (107.41)
Следовательно, из уравнении (107.31) — (107.41) для элемента Р(Ф|() группы ® {k0) получаем
Pi*io(l-(v*D(*))4t)Pi;ifl=
= (i • ф- • (VAZ> (*)) J = (ф • i • (V* • D (*))*,). (107.42)
320
Глава 10
Мы заключаем, что под действием операции симметрии из ®(ft0) три компоненты скалярного произведения
i-(V*D(*))Ao (107.43)
преобразуются как компоненты обычного полярного вектора. В компонентах (107.42) имеет вид
Р{* mka р{~ф I о - ?6 у (ф~')ву D (*)], • (107-44)
уб “
Нужно учитывать, что теперь «поворот» <р действует на декартовы компоненты градиента VA. В нашем рассмотрении мы
смогли перенести действие оператора на функцию от ft. Эта процедура аналогична выполненной в (30.1) — (30.10) при рассмотрении блоховских векторов (функций). Таким образом, (3s)2 компонент D(k) остаются неизменными, и при вычислении скалярного произведения (107.28) их после умножения на соб-
YlM f IM
ственные векторы е\ . I и е\ . I просто просуммировать.
\ I /о ' \ I /v '
Этот результат можно записать удобным способом, если обозначить преобразование оператора типа (106.18) следующим образом:
^V*D(*))Ao~Dw(a°), (107.45)
(h\
где — представление, по которому преобразуются три
компоненты полярного вектора г под действием поворотов из группы @ (fto). Другими словами, если рассматривать повороты <р, относящиеся к группе @(ft0) или ip(fto), то оператор, стоящий слева в (107.45), преобразуется под действием этих поворотов как обычный вектор.
Следовательно, можно применить (106.20) и (106.21), т. е. чтобы убедиться в обращении в нуль матричных элементов (107.28), достаточно получить коэффициенты приведения, соответствующие (107.28). В обозначениях рассматриваемой подгруппы они имеют вид
(*o/a I fto • Г • fto/v). (107.46)
Как всегда, при этом важно установить, что базис, соответствующий произведению, является полным.
Этому результату соответствует простое правило. Достаточным условием существования критической точки функции распределения частот при ft0 является обращение в нуль коэффициента приведения (107.46) и, следовательно, отсутствие какого-либо Линейного члена ц ряде теории возмущений (Ю7.21<),
Применение теоретико-группового анализа
(107.22). Другими словами, можно сказать, что мы выполняем приведение прямого произведения
?)(*») (/)* о ?)<*»> (г) ® ?)(*.) Ш; (107.47)
чтобы установить, содержит ли оно единичное представление. Так как производная зависит только от свойств одной ветви (т. е. от ее симметрии и топологии), одно и то же представление ?)(*»)(/) возникает в (107.47) в двух сомножителях. Если вещественно, то (107.47) можно записать в форме
(107.48)
имеющей вид произведения симметризованного квадрата ?)(*»></) на
Такое же рассуждение можно использовать для проверки того, обращаются ли в нуль одна или две компоненты оператора градиента. Так, чтобы установить обращение в нуль 6-компо-ненты (например, kx) V*co2 (Ле ) /) при k = k0, нужно исследовать поведение ^-компоненты оператора (107.30). В этом случае вместо (107.47) будем иметь произведение
