Гидродинамика. Методы. Факты. Подобие - Биркгоф Г.
Скачать (прямая ссылка):
a3v cos 0 1 dU a3v sin 6
ur — гз • м9 — 7 — §73 •
‘) Green G., Mathematical Papers, стр. 315 (1833); [13], т. 1, стр. 17 (1843). Более полную библиографию см. в [7], п. 92,
§ 99. Приложения
197
itpvs<je f dr 4
r-a 0
Поэтому полная кинетическая энергия жидкости выражается формулой
T=fff -i-p(“r + “e)r2sln0rfrd0 d<? =
= npv*a6 f r2dr J sin0[-^^- + -^-]rfe =
= a 0
OO 1C
f 7*~ f [^ + 3 cos2 9] sin BdO —
-a
= ^r~ L C0S 9 — COs3 01o =
Так мы получаем следующий классический результат: кинетическая энергия жидкости равна кинетической энергии частицы, движущейся с той же скоростью, что и сфера, и имеющей массу т', равную половине массы вытесненной сферой жидкости.
Кроме того, очевидно, что в невязкой жидкости вращение сферы не оказывает на окружающую жидкость никакого влияния; следовательно, момент инерции сферы остается неизменным. Это наводит на мысль, что (если пренебречь влиянием сил тяжести) сфера в такой жидкости динамически эквивалентна более тяжелой сфере в вакууме, кажущаяся масса т* =* т + т! которой есть сумма массы сферы т и присоединенной массы т', равной половине массы вытесненной воды, но момент инерции которой не изменяется. Это будет строго доказано в § 109, где мы покажем, что все динамические характеристики всякого бев-вихревого несжимаемого течения можно вывести из выражения для его кинетической энергии при помощи общих уравнений ла-гранжевой динамики.
§ 99. Приложения
Изложенные выше результаты находят себе различные простые применения. Одно из них относится к вычислению началь-ного ускорения, получаемого наполненным водородом сферическим баллоном, который сразу освобожден от канатов. Предположим, что масса баллона составляет 7ю массы вытесненного им воздуха. Человек, не знающий о кажущейся массе, мог бы проделать следующие ошибочные вычисления. По закону Архимеда, полная подъемная сила равна произведению 9g на массу баллона; поэтому (так можно было бы подсчитать) начальное ускорение должно равняться 9g. А в случае сферического бал-
198
Гл. VI. Присоединенные массы
лона, наполненного водородом и погруженного в воду, такие же ошибочные вычисления дали бы для ускорения значение, равное по меньшей мере lOOOg.
Однако правильное начальное ускорение можно легко найти при помощи теории кажущихся масс. Кажущаяся масса баллона т* составляет 0,1 + 0,5 = 3/s массы вытесненного воздуха; поэтому в действительности ускорение равно 3g/2. В воде оно составило бы около 2g.
Более тонким будет применение понятия присоединенной массы, в случае когда жидкость, в которую погружена невесомая сфера, внезапно получает ускорение а. Чему равно ускорение а* сферы относительно наблюдателя, находящегося вне жидкости? Эту задачу можно решать так. Для наблюдателя, связанного с жидкостью, ускорение а эквивалентно фиктивному гравитационному полю напряженности а. Рассуждая, как и в предыдущем случае, получим, что начальное ускорение а* — а сферы относительно наблюдателя, связанного с жидкостью, удовлетворяет уравнению а* — а — 2а, т. е. а* = За.
Такой расчет был подтвержден Т. Е. Кейвудом и автором1) для малых воздушных пузырьков в воде, и этот вывод существен для истолкования опытных данных относительно различных течений жидкости, подобных изображенным на фото I и II.
Укажем еще одно применение — к часам с маятником ([13], т. 3, стр. 1 —141). Из-за присоединенной массы инерция сферического маятника в воздухе увеличивается примерно на 0,02%; часы с таким маятником отстают примерно на 10 сек в день, в зависимости от плотности воздуха (давления и температуры).
Можно было бы привести множество других приложений (см. § 103—104), но, по-видимому, целесообразнее сначала рассмотреть теоретические основы вычисления присоединенной (или «индуцированной») массы для тела произвольной формы. И, как мы увидим, это составляет замечательную главу классической лагранжевой динамики. Ее создали Кельвин [85] и Кирхгоф [81]; ей в основном посвящена гл. VI сГидродинамики» Ламба [7]2).
§ 100. Инерциальные лагранжевы системы
Рассмотрим динамическую систему, состоящую из твердого тела 2 и идеальной жидкости без свободных поверхностей, ограниченную снаружи и (или) изнутри телом 2. Очевидно, что 2 имеет шесть степеней свободы, которые можно описать с помощью координат q........ Далее, если дано q(/)> то при весьма общих
') Birkhoff G., Cay wood Т. Е.. J. Appl. Phys., 20 (1949), 646—659.
*) См. также работы [7*], [25*], [26*], [1*] и [9*]. — Прим. ред.
§ 100. Инерциальные лагранжевы системы
199
условиях существует один н только один потенциал скоростей (см. § 4 или [4], стр. 217, 311) U = qiU'(q), который на бесконечности стремится к нулю («регулярен»), удовлетворяет уравнению V2U = 0 и на поверхности 5 тела 2 принимает значения дЩдп, определяемые движением 2. Следовательно, кинетическая энергия жидкости определяется равенством
6
7 =4/Я ?PUVU)dR = ± 2 T,j(q)g,gj. (2)
i. У-i
Кроме того, суммарная кинетическая энергия жидкости и твердого тела определяется аналогичным равенством, но с другими коэффициентами. Симметричная матрица
