Гидродинамика. Методы. Факты. Подобие - Биркгоф Г.
Скачать (прямая ссылка):
Кажущееся незначительным ограничение, что производные по пространственным координатам в уравнениях (40) должны быть первого порядка, на самом деле оказывается весьма сильным. Так, из него следует, что система (40) должна быть гиперболического типа. В случае сжимаемой невязкой жидкости это выполняется, чего нельзя сказать, например, о несжимаемой невязкой жидкости или любой вязкой жидкости. Для того чтобы строго установить даже локальную корректность метода поиска симметричных решений, нужны дальнейшие исследования в теории уравнений в частных производных.
•) Автор не изучал вопроса, какие требуются условия для того, чтобы избавиться от трудностей, которые могут возникнуть в случае таких обыкновенных дифференциальных уравнений, как у'3 + у2 + 1 = 0, «степени» выше первой.
*), Hadamard J., Le probleme de Cauchy, Paris, 1932, гл. I [или Степанов В. В., Курс дифференциальных уравнений; М.—Л., 1950, — Прим. ред.]
(40)
§ 90. Теория групп и метод разделения переменных
181
§ 90. Теория групп и метод разделения переменных
Решения физических задач, обладающие внутренней симметрией относительно некоторой группы, можно математически упростить с помощью связанного с этой группой выбора переменных. Мы покажем теперь, каким образом это приводит к методу «разделения переменных», который широко применяется в гидродинамике.
Рассмотрим, например, инвариантность уравнений Эйлера — Лагранжа для невязкой сжимаемой жидкости относительно группы
t —>at, xt->ax{; р, р, и без изменений. (18)
По определению, частные «автомодельные» течения, инвариантные относительно группы (18), можно выразить в виде
и«=/г(Х). Р = Р(Х)> Р = Р(Р) = ?(Р(Х))> (41)
где
Х = (Хм Ха. Хз) — (“т- • т” Т')=Т' (42>
Очевидно, (42) есть частный случай соотношения
Х = А(/)х. (43)
Найдем теперь все нестационарные течения невязкой жидкости, формально допускающие разделение переменных по формулам (41) и (43).
Наш первый результат будет отрицательного характера. Оказывается, что всякое такое течение инвариантно относительно группы (18): обобщение соотношения (42) до вида (43) ничего не дает.
Очевидно, что для любой дифференцируемой функции F(%) из соотношения (43) следуют равенства:
dF h' V dF dF . dF ....
dt ~~ h 2j ** дхь H dXl~h дъ ’ (44)
где суммирование производится по индексу k. Поэтому уравнение неразрывности dp/dt + div(pu) = 0 эквивалентно уравнению
*[(?)2^ + ?^Н, (45)
если справедливо соотношение (43). Аналогично, если пренебречь силой тяжести, уравнения движения невязкой жидкости эквивалентны уравнениям
182
Гл. V. Теория групп и гидромеханика
Если Л'/Л2— постоянная, не зависящая от времени и не равная нулю, скажем —С, то ^=С(/— /0). Поэтому посредством
очевидного изменения начала отсчета и единицы измерения времени можно свести наш случай к случаю течений, удовлетворяющих соотношению (42) и, следовательно, обладающих симметрией относительно группы (18).
В противном случае, как можно показать частным дифференцированием соотношений (45), (46) по времени при фиксированном х. будем иметь 2 X* ^Р/^Х* = 2 X* — 0. В этом
случае, в силу равенств (44) dp/dt = du/d/ = 0 и, следовательно, р = р(х), u = u(x). Отсюда, частный выбор переменной h'/h1 в формуле (45) дает как раз стационарные конические течения из § 88. Такие течения удовлетворяют соотношениям (41) и (43) при любом h(t), в частности при h(t) = 1//, как в формуле (42); все они являются автомодельными относительно группы (18).
Итак, методом поиска решений, симметричных относительно группы (18), можно получить все невязкие течения, допускающие (кажущееся более общим) «разделение переменных» вида
(41) и (43).
Для безвихревых течений соотношения (41) и (42) эквивалентны предположению, что потенциал скоростей U(x, t) допускает разделение переменных
U=tF(x) = tF(x/t), (47)
что уже сделано в соотношениях (36) и (37). При этом для безвихревых баротропных течений можно применить обобщенное
уравнение Бернулли из § 4, dUjdt-\- ^VUVU-\- J dplf> = C(t).
Последнее ввиду равенств (44) сводится к уравнению
ЛХ) - S X* + i VFVF+ f-у-= С. (47')
В случае несжимаемой жидкости (р = ро) можно получить расширение класса подобных решений, положив С = C(t).
Дальнейшие обобщения. Разделение переменных вида (47), хотя и эквивалентно формуле (41), наводит на мысль, что формально следует рассмотреть вообще все течения, которые автомодельны по времени в том смысле, что для них справедливо соотношение:
u = g(0f(x). где х = Л(/)х. (48)
В этот класс течений входят также течения, рассмотренные в § 87, для которых [как сказано в замечании после формулы (32)]
§ 91. Случай вязкой жидкости
183
инвариантность относительно (18) эквивалентна равенству
1 = I.
В него также входит новый класс несжимаемых безвихревых струйных течений, введенный Карманом1). Последние определяются условием подобия
которое соответствует постоянному коэффициенту ускорения.
Интересно было бы определить самое общее течение невязкой жидкости, удовлетворяющее условию подобия (48), и проверить течение на инвариантность относительно подгрупп группы подобия. Вместо этого мы в виде компенсации определим несжимаемые вязкие течения, удовлетворяющие условию
