Гидродинамика. Методы. Факты. Подобие - Биркгоф Г.
Скачать (прямая ссылка):
условию J f (dU/dn)dS = О-
Мы получили обобщение результата Тейлора [83], который рассматривал случай h= 1. В этом случае (dUl/dn)dS есть dSi, и интегрированием по частям по внутренней области S поверхности S мы находим, что J J xidSl = Iff dR представляет собой объем тела 2. Поэтому можно записать равенство
Тп — — р ¦ объем (2). (12')
Наличие величины объема тела 2 в формуле (12') Тейлор объяснил тем, что заполненная жидкостью полость в 2 при поступательном движении увеличивает его присоединенную массу на величину, равную произведению р на объем полости, не изменяя дипольного момента U1 на бесконечности.
Он также отметил, что в случае тела Рэнкина Следовательно, при поступательном движении вдоль оси xt присоединенная масса равна произведению момента диполя, определяющей тело системы источников и стоков, на величину 4irp минус масса вытесненной жидкости.
Формула для сферы, когда = а3/2, как в § 98 формула (1), является частным случаем выражения
Случаю вытянутого сфероида вращения соответствует линейное распределение источников между фокусами.
§ 103. Теория и эксперимент
205
§ 103. Теория и эксперимент
Хотя мы начали с теоретического рассмотрения, но явление присоединенной массы впервые было открыто экспериментально. В 1776 г. Дюбуа!) наблюдал его влияние на период малых колебаний сферического маятника. Измеренные им значения k лежат в интервале 0,45—0,67.
В то время систематическое и точное определение периода колебаний маятников имело большое научное и практическое значение. Желательно было точно знать, чему равно g и каковы его аномалии, а для определения долготы во время длительных морских путешествий требовались хорошие хронометры. В пустоте мы имеем mlO—mg sinS, стало быть, g связано с периодом т малых колебаний маятника длины I формулой g = 4т:2//т2. Но необходимы поправки как на влияние воздуха, окружающего маятник, так и на трение в системе подвеса.
Очевидно, что из-за подъемной силы восстанавливающая сила me sin 0 маятника плотности р уменьшается в отношении
1 — (р/р). где р'—плотность воздуха. Благодаря очень точным измерениям Бейли 2) было выяснено, что эта поправка, доходящая примерно до 5/р минут в день, является недостаточной. Отсюда ясно, какое большое значение имел результат Пуассона и Грина, что m в левой части уравнения маятника нужно заменить на «кажущуюся массу» т*, что увеличивает величину ч в отношении 1 : [1 + (m'ftn)]'!*. Такое вычисление a priori значения т! — т* — т для сферического маятника было поразительным результатом.
Однако точные измерения выявили то обстоятельство, что наблюдаемые значения т' = kp-объем (2), полученные по измененному уравнению маятника (т + т')10= т[ 1 — (р'/р)] sin 0, систематически превышали значения, найденные по формулам Пуассона и Грина.
Это систематическое расхождение Стокс ([13], т. 3, стр. 1— 101) объяснял влиянием вязкости. Его соображения будут конспективно изложены в § 115; из них следует, что указанная разность значений пропорциональна числу Стокса 5 = v^/ra^a, где ® — частота, а а — радиус сферы. Стокс получил также вязкое затухание, которое в обычных условиях тоже пропорционально S.
Отсюда следует, что при быстрых колебаниях малой амплитуды, когда S мало, теория идеальной жидкости должна доста-
!) DuBuat, Principes d’hydraulique, 3-е изд., Paris, 1816, 221—251 (первое издание — в 1776 г.). Обзор более ранних работ см. в [13], т, 3, стр. 76—122 или в [79], стр. 97-—101.
2) В ail у F., Trans. Roy. Soc., London (1832), 399—492.
206
Гл. VI. Присоединенные массы
точно хорошо согласовываться с наблюдениями, И действительно, многие эксперименты J) показали хорошее согласование с теорией. К сожалению, амплитуды при этом обычно не измерялись, а погрешности эксперимента часто были одного порядка с поправкой на вязкость. Данные Бесселя, по-видимому, занимают особое место; некоторые побочные эффекты в этих опытах были проанализированы Стоксом ([13], т. 3, стр. 112).
Было установлено также, что вдали от всех твердых границ движение жидкости при ускорении из начального состояния покоя на протяжении примерно диаметра хорошо согласуется с теорией идеальной жидкости. Однако, после того как сфера подвинется на несколько диаметров, наблюдается отрыв потока (отделяется вихревой слой), и тогда стационарное значение Со становится более важным2). Еще скорее это происходит при ускоренном движении диска перпендикулярно к его плоскости 3); этого и следовало ожидать, так как острая кромка благоприятствует отрыву. Вообще говоря, тенденция к отрыву зависит от величины полного перемещения, выраженной в диаметрах; так, при периодическом движении она зависит от t/maxt/d, где т — период.
§ 104. Коэффициенты устойчивости
При исследовании устойчивости стационарного движения в воде многих типов тел были использованы в соответствующем оформлении идеи, подсказываемые лагранжевыми формулировками (§ 99, 100). Если эти формулировки применимы, то можно подставить формулу (2) в соотношение (3), чтобы получить следующее уравнение:
Q/ = S7,//(q)?y + /r,(q, q)- (13)
