Прочность, устойчивость, колебания. Том 3 - Биргер И.А.
Скачать (прямая ссылка):
S Число степеней свободы при наличии элементов трения
Исходная система Элемент трения пс изменяет число степеней свободы
Элемент трения наменяет число степеней свободы
1 5 \--с S \ , Г>
(c) О (c) bd Л ±(c)
2 fvwwwtf-j | (c) 6 (••'•••О -И Ю
(r) @
J 7 I-о с 11 1 €)-1-Г)
i О О (c) ? i Ф @ S
" iv"'lj'vAC] 3 fcwvSvwvfl 12 коц>нн
ф ф 1 @
Основные понятия
235
9. Примеры непрерывно деформируемых систем ____________с распределенной
массой__________
1 Функцин, определяющие конфигурацию системы
Продольные колебания Продольные перемещения и<*. О
г я, е=*=~ Крутильные колебания Углы закручивания Ч> (Jr. 0
3-Г" - Иэгибные колебания Поперечные перемещения V (.V, /)
Изгиб п кручение полисы \ Прогибы V (ж, /). Углы закручивая ни <Р1ж,
t)
5 Общий случай изгиба пластинки Прогибы к, =•.= и, (Г, О, 1) Преи нбы
".¦ - ь- {ж. и, 1)
! Осеснммс'.рнчцый кз1 иб нла- 11рогнбы И! - W {Г . /)
Ост ты теории колебаний механических систем
КОЛЕБАНИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ
Свободные колебания
Свободными называют колебания, происходящие после некоторого начального
нарушения состояния равновесия механической сиасмы, которая затем
остается предоставлен иен самой себе и движется год действием
восстанавливающих сил и. возможно, сил грення. В системах с одной
степенью свободы это нарушение состояния равновесия характеризуется
начальным смещением у0 и начальной скоростью v0.
Системы без трения. Независимо от конструкции системы дифференциальное
уравнение движения приводится к виду
ми + су 0 или у -f- р-у - 0, 11)
в котором у - у \J)-обобщенная коор-днната; т-инерционный коэффициент
(обобщенная магса); с - коэффициент жесткости, представляющий собой ста-
тчеекую силу, способную вызвать пе-Рис. 4 О с
ремещеиие, равное единице; Р ~~~ -
Решение дифференциального уравнения (4):
и = a sin \pt + qp) (3)
описывает гармонические колебания с амплитудой а и круговой частотой р.
Закон движения показан на рис. 1, ", а фазовая диаграмма - на рис. 4.
Амплитуду колебаний а н начальную фазу ф определяют по формулам
г arctg
РгУо
Р ' v0
Соответственно решение (5) может быть записано в виде . ,
У = Уо cos pt sin pt.
Круговая час гота колебании определяется инерционными и массовыми
свойствами сисюмы
р- V
ib)
и называется собственной частотой колебаний. Для одномассовых систем
(подобных схемам /, 3, 4 габл. 5) в формуле (6) т - масса груза; с-
коэффициент жес,кости упругой связи. Для систем типа 3, 4 табл. 5 вместо
формулы (6) можно пользоваться формулой
(7)
где fern - ста гн чес кое смещение груза под действием силы тяжести.
Колебания линейных систем с одной степенью свободы 237
Для систем, совершающих угловые колебания (подобных схемам 5 и У табл.
5), инерционным коэффициентом служит момент инерции / груза относительно
оси вращении; к этом случае формулу (6) записывают н яйле
причем коэффициент жесткости с вычисляют как момент статически
приложенной нары, способной вызвать угол поворота, равный единице.
Собственные частоты колебаний систем с одной степенью свободы приведены в
табл. 10.
Энергетический способ определения собственной частоты. Упругие
механические системы без трения обладают свойством консервативности:
полная энергия такой системы остается постоянной в течение всего процесса
колебаний, т. е.
~Ш+Т)=0, 18)
где П - потенциальная энергия системы; Т - кинетическая энергия системы.
Из соотношения (9) следует, что максимальная кинетическая зиергия равна
максимальной потенциальной энергии
Птах-Т'пюх (101
(потенциальную энергию н положении равновесия принимают равной нулю).
Равенство (10) позволяет наГпи собственную частоту механической системы
без составления дифференциального уравнения движения.
Дли этого нужно:
1) выразить максимальную потенциальную энергию /7П1ах через амплитуду а
обобщенной координаты;
2) выразить максимальную кинетическую энергию Упт через
амплитуду ар обобщенной скорости;
3) подставить выражения /7,(tm)* и '/'"их к равенство (10) и найти
собственную частоту.
Пример 1. Определить собственную частоту плоских малых колебаний цилиндра
радиуса г (рис. 5). находящеюся на цилиндрической поверхности радиуса R
(движение без проскальзывания).
Пусть v - скорость центра тяжести цилиндра, тогда угловая скорость его
вращения равна ---- и кинетическая энергии
т - mv* _L mrt i v V 3mvl •
2 2 ' 2 \ t J " 4 *
здесь m - масса цилиндра, ^ его момент инерции относительно оси.
Обоиначим череа Ф полярную координату центра тяжести цилиндра при
качении, а через я - амплитуду этого угла; Тогда V - ф (/? - г), v,nBX -
яР (Я ')-
Следовательно, максимальная кинетическая энергия составляет ЗиЛ1* j
r",.x-------4- = т ¦"*04*-О*. (11)
у(tm). -и
238__________Основы теории колебаний механических систем
|||. Собственные частоты колебаний систем с одной степенью свободы
Номер схемы В Тйбл г'- (.обе iLOHii.ni частота р Обозначении
/ VI Gti* С &!?>* С - модуль сдвига, П - ЧИСЛО ВИТКОВ ! '.'У живы;
d - диаметр сечения витка, D- средний диаметр пружины
