Прочность, устойчивость, колебания. Том 3 - Биргер И.А.
Скачать (прямая ссылка):
с течением нремени быстро исчезают (рис. 9). Поэтому амплитуда
стационарной части решений (38) и (41) будет
Уст - pi/стг
(42)
(43)
называют коэффициентом динамичности (рис. 10).
Отношение амплитуды силы, передаваемой при колебаниях основанию ч -роз
упругую связь, к амплитуде Р0 возмущаюшей силы называют коэффициентом
передачи. В рассматриваемом случае он совпадает с коэффициентом
динамичности (43).
1
Колебания линейных систем с одной степенью свободы
При " - р {резонанс) решение имеет вид у _ - Щ- tot cos tot.
(44)
в iгоVI случае происходит раскачка колебаний, причем амплитуда возрастает
по линейному закону (оис 11(
Если амплитуда позмч тающей сн па (37) пропорциональна квадро у ее
часто!ы
р0 -- ОМ2, (45)
Рис II
то амплитуда колебании (при ш ф р) составляет (рис. 12) о
а - -.- ------------.
(4<Й
m
to2"
-и
Если на систему в течение короткого времени <1 0,5Г) действует постоянная
сила Р0 - "прямоугольный импульс" (рнс. 13), то Р (t) - 0 при fsz.O; )
п
Т (0 />" при 0 <(<(,; |
р (t) =0 при t >t*\ I
иР
наибольшее отклонение щ/ст = --
(47)
достигает-
ся после исчезновения силы (при t >* f?), причем динамический коэффициент
составляет л/,
ц = 2 sm -
(48)
Независимо от закона изменения возмущающей силы Р -- Р (/), если
длительность t^ ее действия весьма мала по сравнению с периодом Т
свободных колебаний системы, то при / > (,
2-18 Основы теории колебаний механических систем
Ампли гуда колебании составляет
S
о -------. 151)
тр '
Другие случаи непериодических вынужденных колебаний также
могут быть исследованы с помощью выражения (36); некоторые резуль-
таты приведены в табл. 12.
13. Некоторые случаи непериодических выя уждгнных колебаний
Возмущающая сила Закон движения
Р f У = &cin (1 ~ COS pl,; Pe у cm ~ --
t
Р г . at , u . y T +'7p 4,111,1
t
Р Рс j f. ""u/ p .. p pc/n [ 1 -P Э2 1 + P1 Л
a (sill pt -f p cos pi) J ;
0 t Р-f-: =
Р
/" \ + -ktt (1 + ос" Hi) - pv
t" t ^-0 5*11 ;"ll при 0 < 1 < I. J
Колебания линейных систем с одной степенью свободы
249
Если действующая на систему сила представляет сумму двух гармонических
составляющих
Р = Pt bin (to,* + "i) "I Р2 sin (wa* "J" u*).
<52)
причем частота ox. незначительно отличается от частоты со,, то движение
представляет собой биения (см. рис. 2. е). происходящие с частотой ш, -|-
tos
Амплитуда колебаний меняется от минимального значения Рх Рв
до максимального значения
Pi
la\
w
(53)
(54)
(55)
Период биений, т. е. время, проходящее между моментами досшже-ния
последовательных максимумов амплитуды, будет
Та*
2л
| to, - ю2 | '
Г56)
Действие произвольной периодической возмущающей силы (см. рис. 2, в)
P(t) = P(i+T) (57)
{Т - время изменения возмущающей силы) можно исследовать двумя способами.
Способ гармонического анализа. Функция (57) представляется рядом Фурье
р (О - -тг + "к COS
2knt
~Т
+ Л **!
й-=-1
2Ая t
где Ufi и Ьк - коэффициенты Фурье, т
2 Г п ... 2Ш
Ok
(58)
(59)
- dt ф = 1, 2, . . .),
250 Основы теории колебаний механических систем
Затем определяют стационарные режимы движения от каждого слагаемого суммы
(58) и полученные результаты суммируют:
y(t) =
aL cos ot -j- sin со/
-m
(60)
Резонанс наступает при пш= р, где п - любое целое число.
С гг о с о б Д у ф ф и и г а. Вычисляют коэффициенты Т т
Со = Р (т) cos рт dx\ s0 = j Р fx) sin рх dx, (61)
о (j
с помощью которых решение записывают в виде
У (*) = -5" [("¦ с'ё + s") cos pi -
L
t
- - So c(g sin pt -I- 2 J P (t) sin p {/ - x) dx . (62)
о
Решение (62) справедливо при 0 < t < T и повторяется во всех последующи х
периодах.
В табл. 13 приведены некоторые частные решения, полученные при помощи
решения (62).
Системы с вязким трением. Дифференциальное уравнение движения при силовом
возмущении можно привести к виду
... р н\
ту ky + су = Р (/) шш у 2пу + р2у = - ¦ . (63)
При кинематическом возмущении уравнение имеет тот же вид 1см. соотношение
(35) 1. При нулевых начальных условиях (у0 = 0; о0 = О) общее решение
диф<[>ерснциального уравнения (63) имеет вид
у ^ ~тр~ 1 Р П{( VsinP*V- T)Jx;
i<54)
р* = V р2 - п •
(65)
В частном случае гармонического возмущения (37) стационарная часть
решения будет
у = a sin (*at - у), (66)
где
а - РУст,
Колебания линейных систем с одной степенью свободы 251
13, Некоторые случаи действия периодической возмущающей силы
Г0-?)'+"
<67;
представляет собой коэффициент динамичности (рис. 14, а).
Сдниг фаз
" ,со
у = aict"-5------г, 168,1
(Г - со3
характеризует отставание фазы перемещения от фазы возмущающей СИЛЫ.
252
Oi ноны пиурии колебаний механических систем
При резонансе
Коэ^ьриииёнт tie редачи (отношение амплитуды силы, передаваемой
основанию, к амплитуде возмущающей силы, рис. 14, 6)
(701
Если ]> У 2, ю коэффициент передачи возрастает с увелн'к нием демпси рова
н п я.
-гГ
жг
ж I
Если а мил н iy да силы изменяется пропорционально квадрату частоты и, то
зависимость амплитуды колебаний от относи
шения частот - имеет вид, по-V
