Прочность, устойчивость, колебания. Том 3 - Биргер И.А.
Скачать (прямая ссылка):
к определению собственных значений и соответствующих собственных форм,
отвечающих тем или иным заданным граничным условиям. После этого
критические значения нагрузки легко определяют через найденные
собственные значения. Эти операции ужзстся выполнить в замкнутом виде
только н сравнительно простых случаях (стержни постоянного поперечного
сечения при несложных типах нагружения продольными силами, пластинки
постоянной толщины при совпадении их границ с координатными линиями и в
усло-ь :их сравнительно простого нагружения силами, лежащими а срединной
поверхности). В других случаях приходится пользоваться приближенными
способами решения дифференцпа тьных уравнений.
Энергетический метод оказывается особенно удобным в тех относительно
сложных случаях, когда способ Эйлера не позволяет получигь решение в
замкнутой форме. Суть энергетического метода состоит в исследовании
изменения полной энергии системы (вариации полной энергии) ври переходе
из исходной формы равновесия в возмущенную фирму равновесия Критическому
значению щирузкн соответствует нулевое значение этого изменения.
При практическом использовании энергети некого метода заранее задаются
ведом отклоненной формы ранновесия ч тем самым неизбежно В'псяг некоторую
приближенность в решение. При этом важно, чтобы предположенная
возмущенная конфигурация системы удовлетворяла граничным условиям данной
задачи. Спеш рассматриваемых возможных о пою ценных конфигураций ближе
остальных к истинной та конфискация, которой соответствует наименьшее ша
чепце вычисленно!
12
Введение
энергетическим меидоч кричи ческой нагрузки. Согласно этому методу
отклоненная форма равновесия задается с точностью до нескольких
неопределенных параметров, и затем соотношения между ними определяются из
условий минимума полной энергии системы.
Способ Эйлера и энергетический метод (в частности, метод Ригца)
позволя'ог найти критическую нагрузку, но не дают возможность построить
всю кривую равновесных состояний в за критической области; впрочем, в
большинстве случаев этого достаточно, поскольку само достижение
критического состояния обычно является недопустимым.
В случаях 2 и -1 требуется построение кривой равновесных состоянии или,
но крайней мере, определение характерных точек этой кривой (т. е. точек
максимума или минимума, определяющих верхнюю и нижнюю критические
нагрузки). Как правило, при этом учитывают геометрическую нелинейность
задачи, так как перемещения уже не всегда можно считать достаточно
малыми. Во многих случаях приходится учитывать также и физическую
нелинейность, связанную с отклонениями от закона Гука.
При построении подобных диаграмм важно не пропустить ни одной из ветвей.
Так, для стойки, показанной на рис. 6, а, полная диаграмма выглядит
подобно рис. 6, б, хотя при недостаточно тщательном анализе можно прийти
к диаграмме, изображенной на рис. 6, в, из которой еле-* дует ошибочное
заключение относительно критического значения нагрузки (с четырехкратной
ошибкой).
В случае 5 требуется построение кривых /-/(/) при различных уровнях
нагружения. Существенную роль играет принятый закон ползучести, т. е.
зависимость скорости деформации ползучести от напряжения. 1
Глава I
УСТОЙЧИВОСТЬ СТЕРЖНЕЙ
УПРУГИЕ СТЕРЖНИ НА ЖЕСТКИХ ОПОРАХ * Общие сведения
При эйлеровой форме потери устойчивости критическую силу определяют из
дифференциального уравнения изогнутой оси, справедливого для любого
участка стержня, к пределах которого продольная сила неизменна:
здесь v-v (г) - прогиб сечения с абсциссой г, EJ - жесткость при изгибе;
N - продольная сила. Для стержней с постоянной жесткостью (EJ = const)
дифференциальное уравнение (I) принимает вид
должно удовлетворять четырем граничным условиям (по два условия на каждом
конце стержня). Поочередное использование этих условий приводит к
однородной относительно Ci системе линейных алгебраических уравнений.
Критическую силу находят из равенства нулю определителя, составленного из
коэффициентов этой системы.
Пример J. Определение критической силы для стсржкя е заделанными концами
(см. табл. 1, схему 5).
На каждом tu концов прогиб и угол покорена сечения равны нулю, г. е.
V (0) = 0; V' (0) - 0: V {/) -= о. ь' (/> - 0
Согласно выражению (4) приходят к однородной относительно C-t системе
Уравнений
(D
dlv dz4
-j- а2-
(2)
где
(3)
Общее решение дифференциального уравнения (2) v = Сг sin az + С% cos az -
f- С3г - C4
/4)
С, -f- Ct ~ 0;
"С, -- Cs == 0.
С, sin al ~ Cx cos at -У Сг1 + €л - 0. aCi cos al - kCs sin at |- Са =- 0
Написано сочместо с И. И. Губановой.
14
Устий ч и soar. ь стержней
|* критическую силу определяй
sin a! cos al
a cos а - osinu
После рл'л'сртыпаиия определителя получается трансцендентное уравнение
наименьший корень котор'>го
Следовательно согласно формуле (3) критическая сила будет
Мнпгонролетные стержни (неразрезные балки), стержни со ступенчатым
изменением жесткости, а также стержни, нагруженные несколькими
