Прочность, устойчивость, колебания. Том 3 - Биргер И.А.
Скачать (прямая ссылка):
при котором становится возможным прощелкнванне, исследуют
производную-^^-. Приравнивая ее нулю, находят значения С, огве-
•мкдцие верхней и ннжнен критическим нагрузкам;
19=5
Устойчивость оболочек
В го1! кс, определяющей границу прощелки ван и я, диаграмма q* (?) имеет
точку перегиба с горизонтальной касательной. В этом случае подкоренное
выражение в формуле (260) обращается в нуль. Предельное значение ft*
будет
При достаточно малых значениях кривизн прощелкивание оболочек будет
исключено (см. рис. 41), однако в этих случаях начальный участок
зквается существенным, начиная с к* ^ 36. Уточненные решения дают
несколько меньшие верхние критические нагрузки; при этом заметно
оозрастает нижняя критическая нагрузка.
На рис. 42 показана зависимость верхней и нижней критических нагрузок от
параметра ft* для панелей с различным отношением сторон но данным
четвертого приближения при v = 0,3. Про щелки на ние
будет при ft* > 16 для X = 1, при ft* > 20,4 для X = и при ft* > 30 д.1,
я X - 0,5.
Если в решении исходить из аппроксимирующего выражения дляФ и виде Ф U
(д.) V (у), где U и V - "балочные" функции, удовлетворяющие условию
защемлении балки по краям, то четвертое граничное условие (252) может
бьнь выполнено во всех точках края. При этом для
при
Г 6 (I - \2)
диаграммы имеет малый у тол с осмо
абсцисс, и жесткость оболочки ока-^ "; зывается незначительной. 11сэтому
1 j важно возможно точнее определить
^У? Я6 и Ян Для оболочек относительно
/ Г105 бол ьшой кри в из ны.
Л-7Г в рядах (261). Уточненные диа-\ , граммы, полученные по результа-
там решения, выполненного с помощью цифровой электронной машины,
приведены на рис. 41 сплошными линиями. Отличие от данных первого
приближения ока-
\h-0,5 Решение будет нем точнее, чем
7 большее число членов удерживается
ШШ W и Ф выражаются в виде рядов
Ё уточненных решениях функ-
рис. 42
Устойчивость оболочек в пределах упругости
191
Исследование задачи н предположение, чту ребра, окаймляющие панели,
остаются прямолинейными и вместе с тем свободно сближаююя между собой,
приводит для квадратной панели в первом приближении и следующему
уравнению (при v - 0,3):
у* -= 7,S^a - 2,06ft*?;2 -}- (0,154ft*3 + 22) ?. (262)
В случае несчещающнхея ребер зависимость имеет вид
q* _ 28,9?3 -G, lft*" j- (0,5ft*3 -- 22) ?. (263)
Для удлиненной цилиндрической панели (а > Ь) может Сыть получено точное
решение задачи [2]. Окончательные результаты для верхнего и нижнего
критических давлении для панелей различной кривизны и при разных условиях
закрепления приведены в 1абл. 3. Под q\ н qi понимают соответственно
параметры верхнего и нижнего значений критических нагрузок:
3. Критические нагрузки для удлиненных цилиндрических панелей
11ц..,мер кривизны k Шарнирное и" длинны "крепление I кромкам
кромк1 ДЛИ Hi. I.IM
Г1 Пл \ Q>
4,24 5.9! _ !
10 19,4 -2,60
20 (>0.6 05.0 47.4
30 95.5 -44.5 1
40 - 255 | (>5.2
Коническая панель
Рассмотрим случай пологой конической панели, круговой и плане при lg а <-
подвергающейся действию поперечной иа1рузки шпен-сннностыо q (рис. 43, и)
Причем, что панель защемлена по контуру
Рнс. 43
" точки края свободно перемещаются в плане (скользящая заделка).
Особенности задачи, связанные с наличием вершины конуса, уннынать не
будем.
192
Устойчивость оболочек
Представляя оболочку кик искривлены}ю пластинку, возьмем за осгязу
уравнения (250)- (251). По рис. 43, б находим г - ~ = а г.
где а. = U Выразим уравнения (250)-(251) к полярных коор-
диняпх г, (р (рис. 43, f)
П.'клггчодиыс or нскоюрой функции 7 но х, у выражаются через производные
or Z по г, ф в виде
дг _ аz dz 1 r)z
дх дг ' ду г Дд '
(261)
д-Z д-Z d2Z
дх2 дг3 ' дх ду ~ дг \ г Дф ) '
д /J_ dZ_\ Дг I, / Дф /
tHZ _ 1 dZ , I Д-Z
ф- r or 1 r- ' Ф2
(265)
Оператор
2/ , J_ dz J l_ д*г
V /?.,* */-' "r° r ' dr 1 r= ' fltj! "
.14(,*)+4.", дав,
r dr \ dr / r1 Дф2
Используя зав.ici!мост11 (264) - (266) и вводя относительную координату p
- приводим основные уравнения (250)-(251) к виду
р Лш______________________j_____________а /дф аю\ / a^tp д-а- , дчр
а2" \ ,
Л ^ Ш " р До \ Др Др J 1 ра \ Дф2 Др- Др2 Дф- ) ~г
/ Д'Ф Да; Дф Д2сг* \ 2 Д-ф d2w
р3 V ДрДф Дф Дф ДрДф ) р- ДрДф * ДрДф
_ JL.*& .*L , ?*ЩРФ_ , J_c4. ,2(Ш
р4 Дф Дф h р Др2 ' Л с • 1Л/}
- т*ф= 1 ( V 2 Дк' д2^
? р3 \ ДрДф / ра Дф " ДрДд +
I / Ди1 \'2_1_ fog Даш_1_ Д%? Дгю си Д-'ш
р4 \ Дф / р Др Др" р2 Др3 д'\- р "Др3 ' •
опера юр Лапласа имеет вид
_Д^_ J Д t 1 Д2
^ " Др2 " р Др р2 Дф*2
В ооопк'тегпии с прнняшми граничными условиями, имеем
ii- - 0; -О, о, =0; т -: О при р - I. (269)
\ Ш'пгчйвасть оболочек о прмелах упругости
193
Аппроксимируем прогиб выражением
й? - /i (I - р2)2 - fep4 (1 - Р2)2 cos пф. (270)
Первый ¦(лен и формуле (270) отвечает решению осесимметричной : инея ной
задачи для защемленной пластинки, а второй - отображает к'.гиб но п
волнам вдоль дуги с равными амплитудами к центру кри-инзнн; эти два члена
во взаимном сочетании характеризуют образование ряда вмятин,
