Прочность, устойчивость, колебания. Том 3 - Биргер И.А.
Скачать (прямая ссылка):
1
Рв -
При v - 0,3 имеем
V 3(1 - V2)
рв - 0,605Я -
R
(43)
(44)
Из выражения (42а) получаем длину полуволны
/*=-г- гм
1'2 <1 - V2)
(?<0-
В случае весьма короткой оболочки, если муле (42) прни"1Ь m = 1 и
пренебречь вторым членом. Тогда лЧ)
>,и
№)
ну жно в фор-
(46)
Устойчивость оболочек в пределах упруги ти
П7
(48)
Рассмотрим вариант решения задачи в допущении, что i оверхность оболочки
после выпучивания не является осесимметричной. Для прогиба Li> принимают
следующее выражение, удовлетворяющее граничным условиям:
. , тлх пу w = f sin -- sin -p-, (47)
где m - число полуволн по образующей оболочки; п - число полных волн
вдоль окружности. Исходим из дифференциального уравнения (40); подставляя
в это уравнение выражение (47), получим [ 1 ]
D / т-л- п- V1 _j_ ? /я4л*
~ТГ\~и t Ж Т*
/ /и2я4 . ГГ \2 otsji2 _ -р(-р-Н-^г) "Т!
Введем безразмерные параметры по формулам
pR <, mxR n2h ....
р"ж: ; ч-jt- (4Э)
Параметры 0 и t) выражаются через длины полуволн изогнутой
поверхности вдоль дуги {ly- " По образующей ^lx
по формулам
& = -г; ч - • (S0)
'* 1;
Параметра характеризует очертания вмятины; 1] - длину полуволны V Тогда
вместо формул (48) можно записать
I (1-W <>- /сп
12 (] - Vй) - <Н 1 ' ( )
Считая числа m и п достаточно большими, находим мицимуч р
из условия
€ -°'
0р
где
(1-гО-Г
Р - фа
Из этого условия находим значение р:
(I - V12 (I - V-) п верхнее критическое значение параметра р
1 0.005. (52J
135
Устойч ивость милочек
Приведенным решением не усiананливается однозначно форма волнообразования
оболочки; вытекает лишь следующее условие, которому должны удовлетворять
величины т] иtl':
В случае выпучивания оболочки с образованием квадратных волн (0=1)
получаем t) = 0,825; тогда
Верхнее критическое напряжение рв, определяемое в соответствии с формулой
(52), в точности совпадае| с формулой (43). Следовательно, потеря
устойчивости оболочки в малом с образованием вмятин, расположенных в
шахматном порядке, происходит при том же напряжении, что и в случае
осесимметричного выпучивания.
Все приведенные выше формулы относятся к случаю п ^ 4. Практически это
соответствует выпучиванию оболочка средней длины. Границы применимости
теории оболочек средней длины в случае сжатия определяют, исходя из
следующего условия, уточненного по сравнению с выражением (1):
можно считать справедливой формулу (43).
Рассмотрим случай слабо выраженного волнообразования (я - 2, я = 3),
когда оболочка выпучивается с образованием длинных воли. При получении
расчетиых формул для этого случая используют уравнение (29) В выражении
(28) следует положить
"] (о -"-ir)2 = Vvu\ - V3) " 3,3.
(53)
"..О* У?
(54)
, d-v
Ях - 0; Яу=~Рп~^
Принимая
bin /?|п>
где
и
77
из уравнении (29) получим [I)
Устойчивость оболочек е пределах упругости
139
Аа " rniR
•иесь обозначено с = ^#2 и введен прежний параметр л --^- .
Из условия минимизации р по л находим К2 = e!'2ft" (я2 - ])/(! -v2),/2 и
величину
I п- - I
157)
Ре -
>'3(1 - v>) ' "'+ I ¦
При v = 0.3 будет
Ро = 0,605
(58)
В случае л = 2 находим р0 - 0,363, что составляет 0,6 от "классического"
значения, определяемого по формуле (43). При п - 3 верхнее критическое
напряжение составляет 0,8 от "классического" значения. При п2 > ]
получаем значение ре & 0.605, что совпадает с результатом по формуле
(43).
Следовательно, для весьма длинных оболочек получаются пониженные, по
сравнению с формулой (-13), значения критического напряжения.
Характер выпучивания реальных оболочек средней длины не соответствует ни
одному из этих вариантов В действительности, вместо вмятин прямоугольного
очертания, расположенных в шахматном порядке и обращенных к центру и от
центра кривизны, образуются ромбовидные вмятины, глубина коюрых уже в
первоначальный момент сравнима с толщиной оболочки. Эти вмятины
появляются обычно к процессе резко выраженного хлопка оболочки. Отсюда
вытекает необходимость решения задачи с позиций нелинейной теории.
В книге [] j изложено несколько вариантов решения нелинейной задачи.
Решение по методу Ритца состоит в выборе аппроксимирующего выражении для
прогиба го, содержащего несколько варьируемых параметров, и подстановке
этого выражения п уравнение (39). В результате интегрирования эюго
уравнения определяют функцию напряжений в срединной поверхности Ф.
Находят полную энергию системы
где Uc - потенциальная энергия деформации срединной поверхности; Uu -
потенциальная энергия изгиба; W - работа внешних сил. Величины Vа и Uс
определяют по формулам
|де F - 2nRL - площадь поверхности оболочки. Далее полную энер-I ию
системы варьируют по параметрам прогиба и находят диаграмму равновесных
форм оболочки. В процессе выпучивания оболочки число и размеры вмятин
являются переменными, поэтому диаграмма равновесных форм представляет
собой огибающую серии кривых, отвечающих
Э = Uс + Utl - W.
(59)
Uс -- f ((vW - (1 1- v) L (Ф. <l)|| dx d,j. (601
Vu f I Kv1")* - 0 - V) L{s>, m)]<hcdy. (61)
