Прочность, устойчивость, колебания. Том 3 - Биргер И.А.
Скачать (прямая ссылка):
НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ ПАНЕЛЬНОГО ФЛАТ Г ЕРА
Предварительные замечания. Решение задач об устойчивости пластинок и
оболочек в потоке газа в лилейной постановке дае1 возможное!ь определить
лишь критические скорости, а ыкже минимальные толщины панелей,
необходимые для предоi вращения флаттера или дивергенции. Вопросы об
определении амплитуд флаттера (амплитуд предельного цикла автоколебаний),
амплитуд выпучивания, о поведении панели при установлении предельного
цикла автоколебаний остаются открытыми. На эти вопросы ответ можег дать
только решение соответствующей нелинейной задачи. Следует отметить, что
критические скорости
502
Теория аэрогидроупругости
флаттера, найденные прн решении линейной задачи, могут в некоторых
случаях иметь смысл "верхних" критических скоростей. При скоростях,
лежащих ниже этих скоростей, могут существовать устойчивые предельные
циклы, которые будут осуществлены, если система получит достаточно
большие начальные отклонении. Впервые на этот факт было указано в статье
|7 ].
Важнейшим нелинейным фактором, лимитирующим амплитуды при флаттере и
прогибы при выпучивании, являются нелинейности гёомегри-чсского
происхождения. Эти нелинейности связаны с возникновением усилий в
срединной поверхности, которые существенным образом зависят от краевых
условий.
В некоторых задачах следует учитывать также нелинейности физического
происхождения, связанные с неупругкми эффектами. Следует уппывагь также
влияние конструктивных нелинейностей. Учет аэродинамических нелинейностей
важен при больших числах М, особенно при определении возможности
существования периодических режимов и устойчивых статических конфигураций
при скоростях, которые меньше, чем критические скорости, найденные по
линейной теории.
Решению задач панельного фла гтера в нелинейной постановке посвящено
много работ. Краткий обзор можно найти в книге [151 и статье [23].
Основные уравнения. В первую очередь необходимо учитывать геометрические
н аэродинамические нелинейности. Приведем основные уравнения для описания
поведения плоских и криволинейных панелей в потоке газа с учетом этих
нелинейностей, оставляя в стороне учет физических и конструктивных
нелинейностей.
При исследовании поведения панелей в сверхзвуковом потоке принимают
следующие предположения: а) гипотезу Кирхгофа-Лява считают справедливой;
б) прогибы панели полагают малыми по сравнению со сторонами (или
характерными размерами) панели, но сопоставимыми с толщиной А; в)
криволинейную панель считают настолько пологой, чтобы метрику ее
срединной поверхности можно было отождествить с евклидовой; г)
тангенциальные силы инерции и силы демпфирования считаю г пренебрежимо
малыми; д) материал панели подчиняется закону Гука, а механические
характеристики не зависят от температуры;
е) аэродинамические силы определяют согласно поршневой теории;
ж) вследствие аэродинамического нагрева в панели возникает температурное
поле, линейно меняющееся но гол щи не;
Поведение прямоугольной пластинки со сторонами an b может быть описано
при помощи уравнений типа Кармана [8, 111
здесь 'л/ - прогиб; Ф - функции \сплин в срединной поверхности, связанная
с усилиями соотношениями
Т (*, У, г\ 0 = Г" (х. у, 0 + г(c) (д:. у, I).
(6U)
DAAlJ -f a (I -J- V) ?>Д0 - L (тс>, Ф) + </;
-рт-ДДФ + ccA7Y Lh 1
L{2.\ гоу.
(61)
(ГО Охду '
(62)
Нелинейные задачи панельного флаттера_______________503
я - коэффициент температурного расширения; L - дифференциальный оператор,
определяемый соотношением
L (ф, ф)=-^-5-v-r 2-------------~~ ~Г ~=---.>-^ . (63)
т г дх- ду* дхду дхду ду* дх2
Дли пологой криволинейной панели основные уравнения будут
следующими:
DA&w -г я (I ~v)DM) =i (ш, Ф) + К + I'
ДДФ + аДГ" = L L (ш. и) - к, -0 - *" ~. (64)
Для пластинки с начальным прогибом пУц (а:, у) будем иметь систему
уравнений
ОД Да" -г а (1 - V) ОД в = L (а-, Ф) -J- ? (а"0Ф) + q; ДДФ + аДТ0 = yL
(а", ю) - L <ю0, ю).
(65)
Нагрузка q складывается из инерционных сил, сил демпфирования ы сил
аэродинамического давления:
d~w . dw 9 = - К (">)
здесь а - коэффициепт демпфирования; р - плотность материала панели; р -
давление, подсчитывают по формуле (И) или по ее линеаризированному
варианту.
Методы сведения к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Ввиду
сложности исходных уравнений точного решения в замкнутом виде получить пе
удается. Возможны лишь различные приближенные подходы. Наиболее
эффективный подход основан на применении метода Галерюша ]9] н его
модификаций. В результате задача сводится к исследованию системы
обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений. Полученная
бесконечная система усекается, и дальнейшее исследование проводят для
усеченной системы.
Один из методов сведения к обыкновенным дифференциальным уравнениям
состоит в следующем Выражение прогиба и> (х, у, t) представляют в виде
ряда по координатным функциям, удовлетворяющим условиям для прогиба
оо
W (х, у, t) = V] }f (I) U't (x. If). (67)
