Прочность, устойчивость, колебания. Том 3 - Биргер И.А.
Скачать (прямая ссылка):
Следуя асимптотическому методу, порождающее (внутреннее) решение нужно
искать в виде
W (Ху, Хо) - sill fcj (А! - Ijj bill k.j, <a2 - l2), (43)
где ky и k2 - неизвестные волновые числа; ?, и с,-2 - фазы порождающего
решения. Это выражение удовлетворяет уравнению (42) и соот-вегс I nyei
частоте
"'(*Т + Ф (-?)'• "4>
Но выражение (43), вообще говоря, не удовлетворяет-краевым условиям
Исключением являююя краевые условия Ианье (см стр. 375). п . ,
m-iTi , Wo л
Для -этих условии ky --, А3- -, где Шу н т., - положитель-
иы< целые числа. Для подчинения краевым условиям мы располагаем лишь
четырьмя постоянными ku k2, |l7 |2. При определенном выборе
//ричепсни'ё аслчпгттм Lкого мгтода к расчету пластинок 4117
этих констант выражение (43) можно рассматривать как асимптотическое
решение краской задачи для определенных условий на контуре, справедливое
в области, достаточно удаленной от контура пластинки. Внутренняя область
и область краевых эффектов в колеблющейся пластинке показаны иа рис. 9.
Решение вблизи границы хг = 0 удобно искать в виде
w (*ь х2) = W (хх) sin kz (а-2 - g2). (45>
Подставив выражение (45) в уравнение (42), посте использования выражения
(44) для собственной частоты можно получить дифференциальное уравнение
Wiy -24V" -
- (2fef fc] + *})"' = 0 (46)
Соответствующее ему ха-р актер исти чес кое у рав пение имеем два чисто
мнимых и два действительных корня:
-
Мнимые корни соответствуют порождающему решению (43), действительные
корпи - корректирующим решениям. Следовательно, в пластинах всегда имеет
место иевырождеиный неосциллнрующий динамический краевой эффект |4, 6|.
Общее решение уравнения (46) имеет вид
W - Ск sin klxl -f- С2 cos -f-
-j C3 exp у- Aj (&| - j- 2kf) 2 J r C4 exp |^jc, -f- 2kf) 1 J.
Если рассматривается граница xt = 0, ю последний член должен быть
отброшен, } а к как он неограниченно возрастает с увеличением .г1. Среди
оставшихся членов первые два полностью соответствуют порождающему решению
(43), а первые три члена, взятые вместе
= Ч1П (V| - 61) +Cexp | -r 2fe|) 2 |, (47)
описывают динамический краевой эффект н пограничной зоне.
Пользуясь выражением (47), можно оценить ширину области динамического
краевого эффекта. Так как постоянная С но порядку
408
Колебания пластинок
величины не превышает единицы, тс можно считать, что влияние последнего
члена в формуле (47) оценивается чиожи юл ем
схр ?- хд (?j -}- 2kl) 2 j. Пусть х, = где /ч = длина поту-
нотны порождающего решения. Тогда при /г, = имеем i~л * 3 = 0,0042. Даже
в самом неблагоприятном случае (k" - 0) получаем "=0,0432, Следовательно,
ширина области динамического красного эффекта не превышае; длины
полуволны.
Условия склеивания. Для каждой стороны пластинки можно построить решения
типа (47). Удовлетворяя соответствующим граничным условиям, можно
выразить постоянные С и фазы ? через волновые чиста kY и fe3. Требование,
чтобы с ючиос1ью до динамических краевых эффектон нее четыре решения
совпадали, сводится к условию, чтобы фазовые постоянные, найденные для
двух противоположных сторон, отличались на число, кратное п. Это дает
условия склеивания
М, = arctg ии (*lt feg) -j srciguis (feb ft.,) m,я;)
!• (48)
k*a" - arctg w21 (^i. ^г) +¦ arc!gi/ag (ftj, k.,) -t- /?г2л,,
где mlt rn2 - целые чиста или нуль. Функции и од (Ад, fc2) равны
тангенсам фазовых постоянных |а, найденных из граничных условий ха - 0 и
Ха - ciu соответственно, и, следовательно, зависят только от граничных
условий. Если на контуре пласшнки ш - 0, а функции arctg <р понимают в
смысле главных значений, то числа mY и ша пробегают все положительные
целые значения, упорядочивая так спектр собственных частот. Значения тг -
= ms ~ I соответствуют при этом основной (}юрме колебаний. В случае, если
одна или несколько сторон пластинки свободны или упруго оперты, то для
определения чисел т1 и гл2, соог-нетствующих основной частоте, требуется
дополнительное исследование. Следует иметь в виду, что асимптотический
метод пригоден, вообще говоря, лишь для достаточно высоких форм
колебаний.
В качестве примера вычислим функцию "ц - (Ад, ft2) для заделанного края,
взяв для определенности сторону хд - 0. Условия для функции W (хх) имеют
вид W (0) - IX'' (0) - 0. Подставляя сюда выражение (47), можно найти
систему двух уравнений
sin ftiCi - С -= 0:
А, cos*,?,- (*? т-2*2.) 2 0;
01Сюда
tg *.е, *=---т; с ±---г
(а; -I 2А,) 2 i1 (А; 4 А;)т
HUUIJOU M
Применение асимптотического метода к расчету пластинок 409
Продолжение та6.i. 1C
410
Колебания пластикик
i +
СГ-2
| ii
wf
Итак,
F1 (^ь ^а) -
=-----------^-т- (")
(ft? 2ft?) '
Формулы для функции (Аь fea) и постоянной С при различных типах
закрепления стороны хх=0 приведены в табл. 16.
Пластинка, защемленная по контуру. Используя табл. 16 и уел(вия
склеивания (48), можно найти собственные частоты и формы колебаний для
большого класса прямоугольных в плане пластинок. 11усть прямоугольная
пластинка со сторонами о, и а2 защемлена по всему контуру 15|. Точного
