Прочность, устойчивость, колебания. Том 3 - Биргер И.А.
Скачать (прямая ссылка):
решения этой задачи не получено. Имеются приближенные результаты для
основной частоты, полученные вариационными методами. Для квадратной
пластинки наиболее надежные результаты получены Игути [301, который искал
решение дифференциального уравнения (42) в виде разложения по функциям,
удовлетворяющим всем условиям на контуре (см. стр. 379-380). Для
вычислений Игути брал шесть членов ряда; поэтому его результаты, особенно
в области низших частот, обладают* большой точностью. Используем решение
Игу ш п качестве эталона для опенки эффективности асимптотического
метода.
Применение асимптотического метода к расчету пластинок 4П
Условия склеивания (48) с учетом формул (49) имеют вид
(50)
~ 2 aictg -
Щ)7
къОг - ^ arctg -j- -|- пца I
(к _ г*;) I
Семейства кривых (50) для случая а1 - о2 представлены на рис. 10. Жирные
линии соответствуют пластинке, защемленной но контуру, ¦гонкие линии -
опертой пластинке. Арктангенсы в уравнениях (50) понимают в смысле
главных значений. При эгом нолпооые числа к1 и к2, соответствующие
значениям ml = m2 = 1, будут несколько больше, чем
и ~ Естественно О! аа
ожидать, что уравнения (60) при тх-тг- 1 дают приближенное значение
основной частоты. Это подтверждается анализом форм колебаний.
Следовательно, корни уравнений |Ь0) при 0, т2г?Г0 ЯВЛЯЮТСЯ лишними и
должны быть отброшены.
Невязка склеивания х а ра ктеризуется з н аче-
ннями корректирующих решений в центре пластинки. Кривые, соответствующие
невязкам (а =5%, 1°6, 0.1% и 0,01%), на рис. 10 нанесены штриховыми
линиями. Из чертежа видно, что незнзка склеивания при определении
основной формы колебаний не превыше?i 5% и что лишь первые три формы
колебаний склоннаюгея с невязкой порядка 1%.
Для некоторых частных случаев система уравнений (50) допускает решение в
конечном виде. Например, при колебаниях стержня длиной а или при
цилиндрическом изгибе пластинки (к2 -> 0) первое у равнение дает
ка
Подставляя и формулу (44), получим
¦(?)'
412
Коле/мния пластинок
Эта формула, дающая даже для основной частоты погрешность менее I/o, была
получена еще Рэлеем из анализа точного решения задачи о колебаниях
защемленного стержня.
Для тех форм колегунмн квадратной пластины (о, = оа =" а), которым
соответствует т1= тг- т, точное решение уравнений (50) имеет вид
ko =
= ("' + 1Ь
отсюда по '|"ра\ .ю (44) найдем
\pflj
(m*r 1, 2, . . .).
При значениях mt =±= тг решения уравнений (50) могут быть найдены по
методу последовательных приближений (5, 6], Численные результаты
представлены в табл. 17. Величина невязки склеивания в табл. 17
I 7. Коэффициент частоты оз дли квадратной пластинки, защемленной но
контуру. Сравнение с результатами Игути
1,2027 7/3 1. 1420 2,2556 10/1 1.1084 2,2038 3,27Б4 13'3
тотичс-
4/3
2,4372
7/3
3,-1688
3,4012
10/3
4.4816
•1,4366
4,3832
13/3
3 556 7,386 10,889 13,337 16,656 22.222 21,313 24,540 29,960 37,55и
По дан I ждеине ним 1 н % Игути |
3,6-16 2,53
7,437 0,С9
10,965 0,70
13,393 0,42
16,717 0,37
2,66
0,93
0,18
0,24
0,07
0,01
о.ог"
0,02
0.00
0,00
вычислена с учетом формулы (47). При сопоставлении результатов необходимо
иметь в виду, -по значения, полученные Игути, завышены, а погрешность при
мене.-то г о им метода возрастает с ростом волновых чисел. Заметим, что
ряд высших частот был квалифицирован Игути ошибочно (оик были приписаны
не тем формам колебаний, которым они в действиголыюстн соответствуют); и
табл. 17 это исправлено. Результаты вычисления (51 первых 1C частот и
форм колебаний для нрямо-у юлы юн нлааинки при а, - 2ал п с2 = 4ох
приведены n izfe.. 18.
Коэфрипгсшы чагготыгх. для других отношений г - ---- могут *'ыгь
взя1ы .jo графику I.а рис. 11. Частоту свободных колебании ти определяю!
затем но формуле
Применение асилттотич**mso метода к расчету пластинок 413
18, Коэффициент частоты а дли первых 18 форм колебаний защемленной
пластинки
тг 1Г = 4 а2 "
*jg| л A'sflj Я - А ,л, Л ft. С* л "
1 1 1,51 1,08 2,350 1,45 1,17 2,441
I 2 1,46 2,24 2,420 1,30 2,30 3,181
1 Э 1,42 3,23 2,667 1.28 3.38 4,494
1 4 1,38 4,30 3,041 1122 4' 42 6,383
2 1 2,49 1,05 6,299 2,49 1.10 6,477
2 2 2,49 2,09 6,454 2,44 2,19 7.184
2 3 2,47 3,13 6,711 2,40 3,26 8,400
2 4 2,44 4,29 7,089 2.33 4,35 10.150
3 I 3,57 1,03 12,321) 3,50 1.06 12,47"
3 2 3,50 2,07 12,460 3,47 2,13 13,185
3 3 3,49 3,10 12,740 3,44 3,19 14,400
3 4 3,47 4,13 13,152 3,42 4.24 15.851
4 1 4,50 1,03 20,298 4,49 1,05 20| 469
4 2 4,49 2,0э 20,467 4,49 2,12 21.194
4 3 4,4!) 3,08 20,742 4.-17 3,14 23,407
4 4 4.49 4,11 21,1.7ч ".44 4.20 24.115
414
Ко-гебания пластинок
Другие случаи опорного закрепления. Пусть пластинка по краям лг, - 0 и х%
- 0 защемлена, а по краям = ах и дг2 - а2 шарнирно оперта (рис. 12. в).
Тогда аналогично предыдущему
Mi = arctg - j- ~j тгзс.
k2a2 - arctg
(A? + 2*|) 5 кг
вуст mx - rr. i = a2= a, t
= (m + i-)n.
¦ -f- m2it.
Основной частоте соответствует mx - m2 - 3 (если берут главное значение
арктангенса). При ах = аг = а, тх - т2 решение будет
