Прочность, устойчивость, колебания. Том 3 - Биргер И.А.
Скачать (прямая ссылка):
583.83 361,90 287,54 676 456 182 792.5 576.6 504,3
Сопоставление результатов вычисления различными методами частот
квадратной (oj - u8 = а) пластинки, защемленной но контуру, дано в табл.
3.
I
Колебания изотропных пластинок, прямоугольных в плане 379
9. Безразмерные частоты о), = иог свободных колебаний
защемленной но контуру квадратной пластинки
! т
етод э 2
1 т т
Рэлея-Ритца (первое приближение) Рэлея-Ритца Эдмаиа
Вайнштейна Саусвелла ... Метод рядов 37,46 35.99
35.999 35199 з2;з1б 35.99 35.7 74,81 73.41 73,405 70 67,87 73.41 75,0
108,13 108,27 108,237 105 97,86 108,22 107.8
Игути |30{ при определении частот и форм собственных колебаний
защемленной пластинки искал формы колебаний в виде, удовлетворяющем
условиям защемления
ш-Y Ат ?k':pl_
_ J_sin(tm)ifsl Ufe-fr'1 +
a]
+ (_,r ____1_sln nm,
' П/Ло Oo
Это выражение подставлялось в дифференциальное уравнение ОДДц; - рйо)2^ =
0.
Леная часть раскладывалась в двойной ряд Фурье ЯГИ, . ЛОТо ,,
/ | им,,к, sin ь,н -"^-А'2 ¦ "
Частоты и коэффициенты определялись из уравнений вида
Результаты вычислений Hi ути для параметра частоты а - ~ isiflj
(ph/Dn^y'" для квадратной пластинки {ал - а,) приведены 11 табл. 4 (см.
также табл. 17).
380
Колебания пластинок
, °°i I oh \'Z
i. 4"t roiui u = [ -jy~ | *. формы колс-эаш.й
защ?-:-'sikim по юн гуру квадратной пластины
У зло :".е т пн -V лловые ^ ! "
_1 3,^16 | F *0; 13,393
Q;J ! '=¦-
i_r I
Пластинки, свигодкые г.о контуру. В этом сяуч-ie граничные условия
npilFIIMTIOT r.Ji I
и-& ё>"сг* (>Л:~ , Л , ..
-- - V-------------i- (2 - V) - 0 (А'х - 0. "!),*
,ПГ 'а:.* дх^Х]
•щ
I- {2 - v)- V^- 0 (*2 = 0. о")
с)а-| дх.
Для решения мол.но применить метод Рлиея-Ритца, используя при
мрост/.писаном определении форм свободных колебаний бало-.иые })у.кцин,
осот вето I ну к-щш ' алкам со свободными кош;.-: и
V,'*!> Р,", <**>•
Мрнл с.'яя <jopvyny Ралея-Рн щ.1, получим в лерьш! прнОлН/кепии
, ,fjL L.<;_ Jk + \<* { "I
Колебания изотропных пластинок, прямоугольных е плане 381
здесь для сокращения приняты следующие обозначения:
(т = 0), ип = 1),
(/я ^ 2);
Cm 5.017 (/71 = I),
Л ^ А,, ~ \ Un V* 2).
0 {in - 0),
1,506 (лг=1>,
яг -j- 0,5 (пг 2);
В,и ¦¦
0 1 248
1 {Лт~ 4)
Результаты вычислений Иг ути {3i ] безразмерных частот со* н форм
колебаний методом, раоечо) резным иа стр. 379, приведены в табл. 5.
а. '1ас:иты сч0,| ¦'* j и формы колебаний СП:>/)ОД!'ОП КП1ДР=ГИг-'| г- 1
,.111,1 (V-=0,3l
V июьые линии <Л" Л ЗЛ'.ВЫО . HI BI I '¦> _ 1
1 1 1,865'- У | 6.10001
X | .• . j С.. Г, 2 о 16
о V, 45SHU чХ ? ч 7 04202
н I Нх 7 "6148
tt . 1 0,43284 | 1! Й '1,0"Г.""8
382
Колебания пластинок
Другие случаи опорного закрепления. В общем случае произвольных граничных
условий проще всего использовать первое приближение по методу Рэлея-
Ритца, выбирая в качестве аппроксимирующих функций произведение балочных
функций, соогнетствующих балкам с аналогичными граничными условиями:
где mt - число узлов функции
Формула Рэлея-Ритца дает приближенное значение соответствующей частоты
собственных колебании
ь>=.тг (-Jr К+т-+- тт IvB 11 'в <у +(>-v) C,11Cti'l}'l \
V I "¦ - t i IJ
Постоянные В*1* иС(1) зависят только от граничных услокий при A'i ~ 0,
а1. Соответственно, постоянные А^, В^ и полностью определяются граничными
условиями при х2 ~ О, с2. В табл. 6 даны значения постоянных А, В, С при
различных сочетаниях краевых условий на противоположных сторонах
пластинки (С - защемленный, S - опертый, F - свободный края).
Более высокие приближения безразмерных частот, вычисленные по меч оду
Рэлея-Ритца, приведены в табл. 7.
Свободные колебания пластинки, опертой по контуру и в отдельных точках
внутри области. Пусть прямоугольная плита оперта по контуру и, кроме
того, в точке с координатами хг - ylt х2 = Уа- Если 0 - частота свободных
колебаний такой пластинки, то в точке опирания возникнет сила реакции
Ре*0/. Решение этой задачи известно:
4 реМ
tt (xi; д2; /) =
й^арЛ
7ST-. * <24>
\ ыт,т.
г/у ыт п, - частоты свободных колебаний прямоугольной пластинки, опорюй
по кошуру. Равенство нулю прогиба в точке опирания дает уравнение частот
Т~ )
m,m. V /
i. Значения постоянных А, В, С при различных числах т узлов Галочной
Функции и различных сочетаниях условий па противоположных сторонах
прямоу!ольнок пластинки
Колебания изотропных пластинок, прямоугольных е плане 383
384 Ко/ебрни ч пластинок
7. Частоты о, - uiZj и Формы свободных колсбанг.
ii'is'Moyi o-it.Hi.ix пластин
Узловые линии ". цр"1 У зли -А _С* . 1 -|И*"И!! №.. ПНИ -2-
°|
0.5 1 1 3 ¦
о *.9"" , j | 1 1.5 OS J-Ul м" 3,450
Л /1 " 1 ^-тЫ . 21,0-4 j 5,372 6,547 14,93 34,73
[ ! |! ' 26,60 i! 21,00 21,44 21,61 21,52
1 зд ' 1 !| ,,,, . ГЗ 10.2b 27,16 94,49 563.9
<1 ¦¦
1 ИД .i ' 63,14 !| • 1 П и [: 24,85 31,17 4В, 71 105,9
!1 р н м с ч а н ¦; с Обошачспие закрепления краев счаетинки см
Напр; к*р, для квадратом пластины (cj. - u3 - а), опертой но контуру а .1
