Вариационные принципы в теории теплообмена - Био М.
Скачать (прямая ссылка):
/ — для турбулентного пограничного слоя по уравнению (7.6.24); 2 — для ламинарного пограничного слоя по уравнению (7.5.9).
164
7.7. ПРИЛОЖЕНИЯ
Проиллюстрируем формулировку типичных задач конвективного теплообмена на примере границы свободного потока. Будет показано, как незначительная модификация функции влияния привозит к общей формулировке задачи теплообмена при течении в каналах и теплообменниках.
Пограничный слой невозмущенного потока. В этом случае обычно учитывается непараллельность линий тока. При этом функция влияния будет зависеть от абсциссы | в точке подвода тепла. Как указывалось в конце § 7.4, при определенных условиях в случае непараллельных линий тока в качестве первого приближения можно использовать функцию Ф(т), найденную выше для параллельных линий тока. Это справедливо, если пограничный слой изменяется не слишком быстро вдоль линии тока и если теплообмен происходит в основном на относительно небольшом расстоянии вниз по потоку от точки подвода тепла. Тогда функцию влияния можно записать в виде
г (х — 1, |) = k ре ф Ф (т), (/.'¦!)
где
Ре (|) 8 (!) '
Это выражение получено из уравнения (7.4.30), где вместо х используется х—| вниз по потоку от точки подвода тепла. Необходимо ввести локальную исходную толщину Si(|) и локальную исходную скорость ?/(|). Как 6(g), так и {/(g) зависят от точки поступления тепла а
Ре (!)=-?- U (ЙЧЮ (7.7.3)
— локальное число Пекле.
Этот метод применим для ламинарного и турбулентного течений. Следует отметить, что для турбулентного течения значение Ре (с) лается уравнением (7.6.6), где число Прандтля не зависит от g.
Более точное выражение функции влияния (7.7.1) для непараллельных линий тока можно получить с помощью вариационного метода, используемого в уравнении аналогии теплопроводности (7.2.17).
Как следует из определения одномерной функции влияния, данного в § 6.2, разность температуры 0 на стенке и адиабатической температуры 0„ можно представить в виде
е_9 a = (7-7.4)
где Н — плотность теплового потока на стенке в точке g в момент t. В выражении (7.7.4) принимается стационарное поле скорости. Если течение жидкости зависит от времени, функция влияния г также будет зависеть от t.
Из уравнения (7.7.4) температура стенки получается непосредственно при заданном распределении поступающего тепла Н в жид-
165
листь, что соответствует вынужденной конвекции. При заданной температуре стенки 0—0О уравнение (7.7.4) является интегральным уравнением для неизвестной скорости теплообмена Н. Его можно решить численно стандартным методом программирования. В частно-
ции g с неизвестными коэффициентами, а затем приравнять значения в обеих частях (7.7.4) для данной точки х.
Функция влияния для течения в каналах. Рассмотрим двумерное поле течения между двумя параллельными стенками, расстояние между которыми равно D, а условия на входе в канал не оказывают влияния на положение вниз по потоку. Следовательно, линии тока можно принять параллельными, а функция влияния выражается в виде г(х), где х — расстояние вниз :по потоку от точки поступления тепла. Она отличается от функции влияния, полученной для пограничного слоя свободного потока, тем, что для больших значений х она стремится к ненулевому асимптотическому значению. Это объясняется тем, что тепло, поступающее на большом расстоянии вниз по потоку, равномерно распределяется в конечном объеме жидкости. Это асимптотическое значение будет:
Средняя скорость течения исР определяется как отношение объемного расхода жидкости к площади поперечного сечения канала. Асимптотическое значение приведенной функции влияния получается из выражения (7.4.3) в виде
Поэтому при решении задач теплообмена в каналах можно использовать слепка модифицированную функцию влияния с учетом асимптотического значения (7.7.6). Очень простой метод состоит во введении этого асимптотического значения в функцию ®(t), полученную в § 7.5 и 7.6.
Когда неоходимо учитывать условия на входе, функция влияния выражается в виде r(x—|, ?). Она зависит от точки поступления тепла и асимптотически выражается в виде (7.7.5).
Теплообменники. Рассмотрим двумерное противоточное течение двух жидкостей, разделенных тонкой стенкой. Примем стационарное течение и условия, не зависящие от времени. Первая жидкость течет в направлении х. Функция влияния для нее будет г(х—|, |), а адиабатическая температура Qa(x). Теплообмен происходит в области между абсциссами хи и Xi. Температура стенки для первой жидкости будет:
где Н (|) •— локальная плотность теплового потока при теплообмене между второй и первой жидкостями. Поскольку рассматривается течение в канале, функция влияния г(х—|, |) имеет асимптотическое значение, указанное в предыдущем параграфе. Условия на входе могут быть приняты во внимание.
сти, можно выбрать полиномиальное представление Н как функ
(7.7.5)
(7.7.6)
(7.7.7)
166
Вторая жидкость течет в отрицательном направлении х. Ее функцией влияния будет r'(E;—х, Ej), а адиабатической температурой в'а(х). Температура стенки для второй жидкости будет:
х1
С' 1х) -= Уа (х) - С г' (?~х, 5) Н (I) <Ц. (7.7.8)
