Вариационные принципы в теории теплообмена - Био М.
Скачать (прямая ссылка):
где Г — гамма-функция. Значение 0О для 0 при т)=0 будет:
2
<р(т))=т) при 0<т)<оо. Задача сводится к решению уравнения
(7.5.9а)
дв д‘в
(7.5.96)
У д-c <9t]2 '
(7.5.9в)
С
Но
(7.5.9г)
0o = O,512tfoT~2/3, откуда получим приведенную функцию влияния
2
(7.5.9д)
ф(т) =-^- = 0,512х 3
п о
(7.5.9е)
157
Тогда приближенное выражение (7.5.7), полученное с помощью вариационного принципа, будет иметь вид:
___2_
ф(т) = 0,514т 3 . (7.5.9ж)
Сравнив его с точным значением ('7.5.9в), увидим, что его погрешность составляет 0,!5%.
В качестве другого предельного случая рассмотрим асимптотическое решение уравнений (7.5.3) при -больших значениях т, что соответствует постоянному профилю скорости u = U, откуда 'ф(т]) = ='1. Точное решение для этого случая получено в § 7.3 в виде уравнения (7.3.24), которое можно записать как
00 = V(ncUkx)~ ^'(^) ’ (7.5.9з)
откуда
___
Ф(т) = 0,565т 2 . (7.5.9и)
Сравнив это точное значение с приближенным выражением __
0,554т из уравнения (7.4.10), полученного вариационным методом для <р(т]) =1 при использовании преобразования (7.4.13), увидим, что его погрешность составляет примерно 2%. Заметим, что эта погрешность больше погрешности выражения (7.3.113) для температуры, что можно объяснить использованием кубического уравнения (7.4.13) вместо параболического. При решении практических задач предпочтительнее использовать кубические выражения, поскольку они дают более высокую точность в первой фазе, которая играет более важную роль.
Параболический профиль скорости. Рассмотрим пограничный слой, профиль скорости которого показан на рис. 7.2,6. На толщине 2 6 профиль скорости является параболическим. За пределами этой толщины скорость постоянна и равна U. Функция <р (г]), соответствующая этому профилю, будет:
?(т])=т] ^1--------1гт^ при т]<2;
(7l)= 1 ПРИ 71>2-
Толщина 6 в данном случае равна толщине, соответствующей кусочно-линейному профилю скорости, который получается при проведении касательной к параболе в точке у=0.
Функция влияния для этого параболического профиля получается, если в общие выражения § 7.4 подставить значения <p(ri) из (7.5.10). Результат получен чис-
158
(7.5.10)
ленно в работе [Л. 7-2]. Для большинства практических задач найдено, что приведенную функцию влияния можно аппроксимировать кусочно-аналитическими выражениями (7.5.9). Это приближение дает хорошие результаты в области т<0,1, имеющей важное значение. Однако вблизи т = 0,6 оно дает погрешность около 10%, которая снижается при увеличении т. Приближение улучшается, если ввести дополнительно небольшую величину Ф:
В результате погрешность снижается до 2 % -
Из этого анализа можно сделать вывод, что функция влияния не зависит от профиля скорости, если характеристическая толщина 6 получается в результате построения касательной к профилю скорости на стенке (см. рис. 7.2). Величина б есть расстояние от стенки до точки пересечения этой касательной с линией u—U, соответствующей постоянной скорости вне границы пограничного слоя *. Для семейства профилей скорости между двумя рассмотренными предельными случаями, где не требуется высокая точность, может использоваться приближенное значение Ф(т) по уравнению (7.5.9).
7.6. ТУРБУЛЕНТНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОИ
Модифицируем общий метод, описанный в § 7.4, для вывода приближенного выражения функции влияния в турбулентном пограничном слое. Рассмотрим случай параллельных линий тока.
В первоначальном анализе турбулентного пограничного слоя, проведенного Карманом [Л. 7-4, 7-5] и другими авторами, использовалась толщина
2
Ф(т)>=0,514ч 3+1^j^J при 1 < 0,64;
(7.5.11)
1
Ф(т) = 0,554т 2+i^^ при 1 > 0,64.
(7.6.1)
* Этот результат объясняется тем, что безразмерный коэффициент теплообмена или локальное число Нуссельта равно jc/6(Nu^=; —х/8). (Прим. ред.)
где 5 — напряжение трения на стенке; р—плотность жидкости, a v — кинематическая вязкость. (Коэффициент вязкости —vp.)
Профиль скорости для турбулентного пограничного слоя показан на рис. 7.3. Его можно разделить на три отдельные области:
а) ламинарный подслой при у < 8;
б) переходный слой при 8 < у < 28;
в) полностью развитая турбулентная область при у> 28.
В качестве характерной скорости удобно принять выражение
«/-.уф- <7-б-2>
Как показано на рис. 7.3, эта скорость равна скорости, которая могла бы иметь место на расстоянии у = 6, при линейном распределении профиля скорости, который совпадает с касательной к действительному профилю скорости на стенке. Это можно увидеть, сравнив уравнения
(7.6.1) и (7.6.2) и записав
S = v?-^. (7.6.3)
Для U и 6 число Рейнольдса будет:
Re =^-=196. (7.6.4)
Во многих задачах конвективного теплообмена используется следующее определение числа Прандтля:
Рг = —. (7.6.5)
VC v '
Объединив соотношения (7.6.4) и (7.6.5), можем записать выражение (7.4.9) для числа Пекле в виде
(7.6.6)
Конечно, такое описание турбулентного пограничного слоя является приближенным. Однако для наших целей можно считать, что оно близко соответствует действу-
ШО
Ре =
196 Рг ’
Рис. 7.3. Профиль скорости для турбулентного пограничного слоя с характерной толщиной 6 и характерной скоростью U.
