Вариационные принципы в теории теплообмена - Био М.
Скачать (прямая ссылка):
с = с(х, у, z, 0). (8.4.3)
Теплопроводность может быть анизотропной и зависеть от координат, времени и температуры
kij = kji = kn{x, у, 2, t, 0). (8.4.4)
При наличии источников тепла скорость тепловыделения в единице объема обозначим через w(x, у, z, t). Умножим уравнение (8.4.2) на 60 и проинтегрируем результат по объему т. Интегрируя по частям, получаем:
Шг"-Еа?г=-Я2*,‘ se dA+
* -t ' ' А -
+Ш
wbfydi. (8.4.5)
В объемном интеграле используем значение 7* из уравнения теплопроводности (8.4.1), откуда
' d аа + J k,, * ") * = - j j j jm se м+
A
wbbdi. (8.4.6)
+№
Как и ранее, введем п обобщенных координат qi и выразим 0 в виде
0 = 0(9i, <72, ..., qn, х, у, z, t). (8.4.7)
181
При этом вариации 60 выражаются с йбмоЩью ва* риаций 8qh. Для этого случая уравнения (8.2.16) и (8.2.19) остаются справедливыми. Следовательно, вариационное уравнение (8.4.9) можно записать в виде
Поскольку 6qu произвольно, получим п дифференциальных уравнений для qu
В выражениях (8.4.9) с и кц являются функциями, зависящими от 0, a G — полином второй степени относительно qu с коэффициентами, зависящими от qu-
Теплопроводность, не зависящая от температуры. Рассмотрим частный случай, когда теплопроводность kij(x, у, z, t) может зависеть от координат и времени, но не зависеть от температуры. Когда теплоемкость с(х, у, z, 0) зависит от температуры, система остается нелинейной. Однако в этом случае можно записать:
— диссипативная функция. Дифференциальные уравнения (8.4.10) для обобщенных координат имеют вид:
dG . 0D
k
(8.4.8)
где
(8.4.9)
А
X
(8.4.10)
(8.4.11)
где
ч
(8.4.12)
X
Они тождественны по форме уравнениям (8.2.22) для линейной задачи.
Случай, когда теплопроводность приводится к постоянной величине. Этот случай имеет место при теплопроводности вида
где k'ij постоянны. Теплоемкость остается функцией координат и температуры. В § 5.4 указывалось, что эту задачу можно свести к аналоговой модели с постоянной теплопроводностью, если ввести фиктивный масштаб температур
При таком переменном и уравнения (8.4.1) и (8.4.2) принимают вид:
Эти уравнения описывают теплопроводность в системе с температурным полем и, теплоемкостью с' и тензором постоянной теплопроводности k'ij¦ Следовательно, в аналоговой модели обобщенные координаты удовлетворяют уравнениям вида (8.4.13), где
Тепловой поток /,• и источники тепла w сохраняют действительные значения.
183
М0)=А«/(е),
(8.4.14)
(8.4.15)
о
где
с' (х, у, z, и) = с (х, у, г, 0). (8.4.17)
(8.4.18)
8.5. КОНВЕКТИВНЫЕ СИСТЕМЫ
Вариационные принципы для конвекции в несжимаемой жидкости рассматриваются в § 6.5 в основной форме, при описании которой используется понятие теплового смещения. Эти принципы в дополнительной форме могут быть сформулированы также и для конвекции.
Начальные координаты частиц жидкости обозначим через Xh. В момент t координатами частиц жидкости будут:
Xh = xk{Xh, t). (8.5.1)
Поле скорости имеет вид:
», = %'. (8.5.2)
Его можно выразить как функцию координат Хк и времени в виде
vh = vh{xh, t). (8.5.3)
Если использовать это выражение для Vh, то условие несжимаемости жидкости запишется как
I дх
= 0. (8.5.4)
___ h
Теплопроводность жидкости будет:
kij = kji=kij(xk, t, 0). (8.5.5)
Она может зависеть от координат, времени и температуры. Тепловой поток Ji удовлетворяет закону теплопроводности
<8-5-6»
Удельная объемная теплоемкость частицы жидкости имеет вид:
c=c(Xh, 0), (8.5.7)
а энтальпия той же частицы в единице объема
е
h= ^cdb = h{Xh, 6). (8.5.8)
о
Жидкость может быть гетерогенной, частицы которой описываются своими начальными координатами Xk,
184
Если Q(Xk, t)—неизвестная функция xh и t, знтйль-пию можно считать функцией Хи и t в качестве независимой переменной. При таком подходе сохранение энергии выражается уравнением
<8-м>
где
ir = (8'5'10)
— материальная производная, a w представляет скорость тепловыделения в единице объема. Из-за условия несжимаемости (8.5.4) уравнение (8.5.9) совпадает по форме с уравнением (6.5.8). По определению h из уравнения (8.5.8) имеем также
Dh D8 дВ , «п дВ /о с , тч
Ж = соГ==сдГ + с2и (8-5-П)
Следует отметить, что, используя значение с из уравнения (8.5.7), мы можем выразить Xk как функцию Xk и I. Следовательно, можно принять в уравнении (8.5.11), что
с —с (xk, t, 0). (8.5.12)
Однако с не является произвольной функцией переменных, поскольку для постоянной 0 она должна удовлетворять условию
п-=;г+5> ?:=°- <8-5-13)
Вариационный принцип получается, если умножить условие сохранения энергии (8.5.9) на 80 и проинтегрировать произведение по объему т. Получим:
ш(^+?^и=янл- <8-5-м)
т т
185
Интегрируя по частям это уравнение и подставляя в него значение из (8.5.6), получаем:
При произвольных значениях 60 это уравнение дает вариационный метод с автоматическим выполнением закона сохранения энергии.
Как и ранее, '0 можно определить с помощью п обобщенных координат qi. Запишем:
Тогда вариации 60 выражаются через вариации bq% по уравнениям (8.2.16) и (8.2.19). Подставив эти значения 60 в уравнение (8.5.15) и значение Dh/Dt по выражению (8.5.11), получим вариационное уравнение
