Лазерные резонаторы - Быков В.П.
ISBN 5-9221-0297-4
Скачать (прямая ссылка):
оо
У", оцщщ ~ ат^ит.
i—m
В этом случае метод простой итерации эффективен и быстро приводит к решению задачи. Очевидно, что итерационный процесс будет сходиться к собственной функции с максимальным собственным значением хш, присутствующей в разложении начального приближения (2.19). Поскольку коэффициенты щ нумеруются в порядке убывания величины модуля, то xq максимален и в результате итерационной процедуры получается мода нулевого порядка. Для того, чтобы получить следующую моду, необходимо так подобрать начальное приближение чтобы «о = 0 и а\ ф 0. Для получения моды необходимо, чтобы ао = а\ = 0, а2 ф 0 и т.д. Понятно, что построение начальных приближений, не содержащих мод низших порядков, связано с определенными сложностями. Поэтому метод простой итерации не эффективен для расчета мод высокого порядка и реально применяется для нахождения лишь первых двух-трех низших мод. Таким образом, можно сделать вывод, что применение метода простой итерации оправдано при расчете низших поперечных мод в случае не слишком малых потерь, т. е. при сравнительно небольших числах Френеля.
Весьма важные результаты были получена этим методом в работах Фокса и Ли [3, 49]. В них были рассчитаны поперечные распределения и потери низших поперечных мод симметричного резонатора, образованного двумя сферическими зеркалами ограниченной апертуры. В случае зеркал круглой формы резонатор описывается уравнением
(2.49) при Т — 1. В качестве начального приближения, в случае расчета основной моды, использовалась функция = const = С. При расчете моды первого порядка upi = uoi распределение выбиралось в виде
(0) = Г С, 0<р<тт,
С, 7Г < (р < 2тт.
Такое начальное приближение обеспечивало отсутствие примеси основной моды (ао = 0).
158
Гл. 2. Метод интегрального уравнения
Arg([/0i) (град.)
Рис. 2.13, а. Распределение амплитуды и фазы первых поперечных мод иоо (а) и и01 (б) на зеркалах
На рис. 2.13 приведены распределения на зеркалах амплитуды и фазы низших мод для резонаторов устойчивой конфигурации. В качестве параметров использовались число Френеля N и параметр g = = 1 — L/R. Значение g — 0 соответствует конфокальному резонатору, g — 1 — резонатору с плоскими зеркалами. При g ф 0 фаза поля на зеркале не является постоянной и сложным образом зависит от расстояния от оси резонатора. Это непосредственно связано с зависимостью потерь от параметра g (рис. 2.14). В конфокальном резонаторе при фиксированном числе Френеля поверхность постоянной фазы совпадает с поверхностью зеркала, потери моды минимальны. Появление же при g ф 0 искривления фазового фронта вызывает увеличение амплитуды поля на границе зеркала (рис. 2.13) и, как следствие этого, увеличение дифракционных потерь. С фактом, что внесение дифракционных потерь приводит к искривлению фазового фронта моды относительно поверхности зеркала, мы уже сталкивались, при рассмотрении резонатора, образованного гауссовыми оптически-
2.5. Методы решения интегрального уравнения
159
О 0,2 0,4 0,6 0,7 r/Ro
Рис. 2.13, б
ми элементами и содержащего гауссовы ограничивающие апертуры.
Зависимость потерь мод а^о и от числа Френеля N и g приведена на рис. 2.14. Видно, что потери быстро уменьшаются с ростом N.
Таблица 2.3
9 0 0,2 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,85 0,9 0,95 0,99
^00 13 8,4 6,9 4,9 4,4 3,9 3,5 2,9 2,6 2,3 2,0 1,83
7 1,84 1,66 1,38 1,34 1,34 1,27 1,16 1,08 1,01 0,86 0,59
UQ1 /5 5,1 4,3 2,84 2,46 2,18 1,86 1,5 1,34 1,18 1,05 1,02
7 2,69 2,46 1,91 1,83 1,84 1,81 1,58 1,46 1,35 1,12 0,835
Данные зависимости могут быть аппроксимированы функцией ви-да а = ехр(—(3N1),
где параметры /3 и 7 зависят от g и номера моды, и приведены в табл. 2.3. Отметим, что потери не зависят от знака параметра д, что является проявлением свойства подобия, рассмотренного в § 2.3.
160
Гл. 2. Метод интегрального уравнения
0,40,6 0,8 1,0 2 4 6 8 10 20
Рис. 2.14, а. Зависимость потерь низших мод резонатора, образованного
сферическими зеркалами ограниченной апертуры, от числа Френеля
При g — 1
а00 = 1 - ехр(—0,183 • TV-1’323), aoi = 1 — ехр(—0,5 • N~1,38).
На рис. 2.15 приведены зависимости Arg(^) для двух низших мод от числа Френеля. (Без учета набега фаз, связанного с длиной резонатора, т. е. при Lo = 0). При не слишком малом N аргумент собственного числа не зависит от N и определяется лишь параметром д. Легко показать, что значение аргумента на горизонтальном участке соответствует формуле (2.31) при Lq = 0 и / = д. Этого и следовало ожидать, так как в резонаторе устойчивой конфигурации, при больших числах Френеля, т. е. в том случае, когда размер апертуры существенно больше размера основной моды, можно отвлечься от эффектов, связанных с дифракцией поля на зеркалах. Гауссовы пучки должны достаточно точно описывать структуру мод резонатора.
Достоинством метода простой итерации является возможность решения с его помощью различного рода нелинейных задач, возникающих в теории резонаторов и приводящих к нелинейным интегральным уравнениям.
В качестве примера задачи такого рода рассмотрим структуру поля в резонаторе с учетом действия усиливающей среды [51]. Исходя из простейшей модели резонатора, содержащего АЭ, будем считать,
