Лазерные резонаторы - Быков В.П.
ISBN 5-9221-0297-4
Скачать (прямая ссылка):
совпадают
148
Гл. 2. Метод интегрального уравнения
Таблица 2.2
с 0,5 1,0 2,0 3,0
2 7оо 0,060585 0,22111 0,62963 0,88705
2 701 0,00094983 0,013986 0,16123 -
2 7ю - 0,00010829 0,0067214 0,066745
с 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0
2 7оо 0,97495 0,99534 - - -
2 701 0,78474 0,93672 0,98534 - -
2 7ю 0,26743 0,57877 0,83061 0,94974 0,98783
условие (2.64) позволяет оценить максимальный порядок моды, участвующей в генерации при заданном значении числа Френеля N = с/27г.
Для удобства тестирования программ численного анализа резонатора в табл. 2.2 приведены значения собственных чисел уравнения (2.53) тР1 для ряда значений с.
О 2 4 6 8 10 12 14
Рис. 2.10. Зависимость величины 1 — api = ссг2г от числа Френеля конфокального резонатора с = 27tN
При построении асимптотических выражений для собственных чисел при больших значениях параметра с и фиксированных р и I, обычно используют непосредственно уравнение (2.55), которое сокращенно можно переписать в виде:
1
о"Ф(Ь) = J k(ctit2)^(ti) dti. (2.65)
о
§2.4- Конфокальный резонатор
149
Дифференцируя его по с, получаем
1 1 ^ ф + сг ^ = J tit2k'ip dti + J dti. (2.66)
о о
С другой стороны, дифференцируя (2.65) по t2, имеем
<’m = rjhhk''l’dh-
О
после чего формулу (2.66) можно переписать следующим образом да , дф t2 дф f 7 дф ,
Тс**”!; = 7°m;+J ks;dh'
О
Умножим обе части последнего выражения на ф^2), проинтегрируем по t2 и используем (2.65):
1
да
дс
о
ill 1 J ф2 dt2+cr J ip^dt2 = a J dt2 + а J ^ dtl
Интегрируя первое слагаемое в правой части по частям, используя, условие нормировки (2.58) и учитывая, что фР1(0) = 0 (см. (2.54)), получим дифференциальное уравнение
^ = ^[^г(1)-1], (2-67)
которое является основным при получении приближенных выражений для <jpi в целом ряде работ по теории резонаторов [42]. В частности, используя асимптотическое представление функции фР1 (2.62в) при t — 1, из формулы (2.67) легко получить приближенное выражение для
_(-!)» (—l)p7r22i+4p+2c2p+i+1^2 -2сГ-< . Jl\] (9в^
pl у/Б p!(p + i)! [ 4JJ’ ( ^
из которого, используя (2.63), получаем формулу для дифракционных потерь I, р-ой моды конфокального резонатора
_ 7г221+4р+3с1+2р+1е-2с Г-, , (1\1
Upl~--------р\(р + 1)\------I Чс/Г (2-69)
На рис. 2.11 приведены точные значения величин api, рассчитанные численно на ЭВМ, и приближенные, полученные с помощью
(2.69). Видно, что разница в значениях весьма велика. Это весьма характерная ситуация в теории резонаторов. Обычно использование приближенных методов позволяет получать распределение поля с
150
Гл. 2. Метод интегрального уравнения
С/2тг
Рис. 2.11. Зависимость потерь первых низших мод конфокального резонатора с круглыми зеркалами от числа Френеля N = с/27г (сплошные кривые). Кружком отмечены результаты, полученные из приближенной формулы (2.69), точками — по формуле (2.70)
достаточной точностью, в то время, как ошибка в определении потерь может быть значительной. Объясняется это тем, что потери мод, принимающих участие в генерации, невелики. Они непосредственно связаны со структурой поля на границе апертуры (см., например, уравнение (2.67)). Поскольку в этой области поле мало, то даже небольшая неточность в вычислении распределения амплитуды моды на апертуре в целом может приводить к существенной неточности расчета поля на границе апертуры и порождать тем самым ошибки в вычислении потерь. Если же установлено, что данный приближенный метод позволяет достаточно точно находить потери мод, то можно с большой степенью уверенности утверждать, что распределение поля этот метод дает очень точно.
Вернемся к рис. 2.11. Точность приближения (2.69) можно существенно повысить, если ввести эмпирическую коррекцию, проведенную на основе сравнения точных значений api с приближенными. Формула (2.69) с учетом коррекции, принимает вид [22]:
_ 2тг(4с - 4,52)i+2p+1 ^_2с
pl p'.(p + iy.
(2.70)
§2.4- Конфокальный резонатор
151
В области api <0,1 она обеспечивает удовлетворительную точность расчетов для мод не слишком высокого порядка (рис. 2.11).
Спектр резонансных частот резонатора определяется уравнением
(2.23). В случае симметричного конфокального резонатора, образованного двумя сферическими зеркалами, это уравнение, с учетом (2.50) и (2.56), принимает вид:
2 Axg[\fcopi(—i)l+1e2ikL°] = 2тг9, (2.71)
где q — целое число. Поскольку собственные значения opi действительны, то из (2.71) непосредственно имеем спектр резонансных частот в виде
с / , / + 1\
^l = 2L\q+— )’
где L = 2Lo — общая длина резонатора. Эту формулу можно переписать в эквивалентном виде
уР1
Такая форма записи позволяет увидеть тождественность данного выражения, найденного с учетом дифракционных эффектов, с формулой (2.32), описывающей спектр резонатора с гауссовыми элементами. Для этого достаточно учесть, что при А = 0 параметр в формуле (2.31) / = — 1 И S = 7Г.
На этом закончим исследование модовой структуры конфокального резонатора и перейдем к рассмотрению поперечного распределения выходного излучения лазера с конфокальным резонатором. Оказывается, что в случае конфокального резонатора эта задача может быть также проанализирована аналитически достаточно полно [47].
