Лазерные резонаторы - Быков В.П.
ISBN 5-9221-0297-4
Скачать (прямая ссылка):
егт^(ш){р2) = Фл-(0Ф^_,-(Ч), (1-123)
j
где Kj — коэффициенты, пока неизвестные, ? = pcosp, r\ — psinp — безразмерные декартовы координаты, выраженные через полярные р и (р, N = п + 2т. Отметим, что при N = О (п = т = 0) это равенство очевидно. Действительно, слева имеем Фоо — е~р а справа
е-С2/2-Г72/2 = ф005 т<е< Ко = L
Для доказательства равенства (1.123) воспользуемся методом индукции. В связи с этим введем операторы*)
^+1)- *+=?М)-
в=тА,,+^' b+=U"-t^
действующие на функции Ф следующим образом:
АФв(0 = Vi®.-i(0. ^+ф.(0 = л/^ПФв+1(0
(АА+ - А+А = 1);
B'Stiv) = B+^t(ri) = VtTT^t+iiv)
(вв+ -в+в = 1).
*) Читатель, знакомый с квантовой механикой, легко узнает в этих one-раторах операторы рождения и уничтожения фотонов.
5*
68
Гл. 1. Оптика гауссовых пучков
Введем также операторы
М = -i(A+B - АВ+) = -i I± = A+±iB+ = -Le*»[P-(°-p± iA)].
Нетрудно показать, что
М1± = 1±М ± /±. (1.124)
Можно видеть, что функция еггп{р является собственной
для оператора М с собственным значением т. Поэтому искомую суперпозицию функций параболического цилиндра попробуем найти среди собственных функций оператора М.
Предположим, мы нашли собственную функцию Фдг,т оператора М с собственным значением т и с заданным N > т. Подействовав на нее оператором /±, получим две новых функции Покажем,
что эти функции также являются собственными для оператора М. Действительно, согласно (1.124) имеем
МФ± т = М1±Фдг.ш = /±МФлг,то ± /±Фдг,ш = (т± 1)ф?>т,
т. е. Ф^то, действительно, есть собственная функция оператора М с собственным значением т =Ь 1 и с N, на единицу большим, что следует непосредственно из вида оператора 1±. Таким образом,
Ф^,т = ФЛГ+1,т±1-
Построим теперь функцию с заданным N и т = N — 2&, где к — целое. Очевидно, эта функция получится, если на Фоо подействовать сначала N — к раз оператором /+ и потом к раз оператором /_
Фjv,jv-2fc = I-kI{+~k) Ф0,о- (1-125)
Произведение операторов /_ и /+ в этом выражении можно представить в виде суммы произведений различных степеней операторов и В+. В результате действия этих операторов на распределение Фо,о и последующего их действия на распределения и получается та суперпозиция распределений, которая фигурирует в правой части равенства (1.123). При этом определяются и коэффициенты Kj.
С другой стороны выражение (1.125) можно представить в виде
§1.8. Лагерр-гауссов пучок и вырождение мод лазерного резонатора 69
Операторы в квадратных скобках можно преобразовать
ди а — 1 л2/2 / — -|\ Q 2/2 _(п_
¦ и
-ри = е' /у*"1) (е"' /V(“_1)«);
др р ^ ' др
тогда для ФN,N-2k получаем следующее выражение
фN,N-2k = (-1 V(JV_fc) X
X = (-l)fc2ft+ra/2eirave"p2/Vm4m)(p2),
где к = (N — т)/2, TV = s + ? = const (TV = 2к + ш). Таким образом, построенная суперпозиция эрмит-гауссовых пучков (1.125) как раз и есть лагерр-гауссов пучок (1.118) при z = 0.
Моды лазерного резонатора, образованного двумя сферическими зеркалами с радиусами кривизны R\ и R2 (рис. 1.4) и обладающего цилиндрической симметрией, описываются выражениями "(г'<лг) = х
Г cos г kzr2 _ ч ^ ,1 Г cos m(z?]
х i тгтто-------+ (\т\ + 2п + 1) arctg т — йг — -0 < > ,
Isin L2(62 + ^2) 41 J ЬЪ \l\sinmy>J’
(1.126)
при этом параметр b и расстояния от зеркал до перетяжек по-прежнему определяются соотношениями (1.26), (1.27) и (1.28), поскольку моды (1.126) представляют собой суперпозиции эрмит-гауссовых мод. Моды (1.126), соответствующие нулевому азимутальному индексу (ш = 0), всегда в центре (при г = 0) имеют светлое пятно, а моды, соответствующие ненулевым азимутальным индексам (m/О), всегда в центре имеют темное пятно. Это видно из выражения (1.116), поскольку там имеется множитель р\т\ а полином Лагерра не обращается в нуль при г — 0. Кроме того, согласно (1.121), радиус внутренней каустики пучка равен нулю при т — 0.
Таким образом, моды с т = 0 имеют только внешнюю каустику, радиус которой в сечении 2 равен
r[n\z) = л/2(кЬ)~1(Ь2 + z2)(2n + 1). (1.127)
В поперечном сечении эти моды представляют собой систему светлых колец со светлым пятном в центре; радиальный индекс п равен числу темных промежутков между светлыми кольцами.
Моды ст/0 имеют как внешнюю, так и внутреннюю каустики, поперечные радиусы которых определяются соотношениями (1.121). В поперечном сечении эти моды также представляют собой систему колец. Однако теперь в центре, как уже отмечалось, имеется темное
70
Гл. 1. Оптика гауссовых пучков
пятно, а светлые кольца обязательно имеют азимутальные разрывы (их число равно 2т). Число светлых колец равно п + 1.
Поскольку лагерр-гауссовы моды (1.115) являются линейными суперпозициями эрмит-гауссовых мод (1.88), то спектр рассматриваемого резонатора по-прежнему определяется соотношением (1.98) с заменой в нем в связи с новым смыслом индексов пит скобки (п + т + 1) на скобку (\т\ + 2п + 1):
ппт = ^ + (N +2n+l) arccos д/5102, (1.128)
где I — продольный целочисленный индекс.
§ 1.9. Электрическое и магнитное поля гауссова пучка
Исследуя гауссов пучок, мы пока принимали во внимание одну, главную компоненту электрического поля, которая описывалась выражением (1.5). Однако фактически в гауссовом пучке имеются и другие компоненты электрического поля, в частности продольные, а также компоненты магнитного поля. Поэтому рассмотрим поля гауссова пучка более подробно.
