Лазерные резонаторы - Быков В.П.
ISBN 5-9221-0297-4
Скачать (прямая ссылка):
C = (A-D)/2C, b = ±^/4: — (А + D)2/ (2С), (1.110)
в которых все входящие в них величины могут быть комплексными.
Аналогично находятся параметры ( и b для другой плоскости симметрии пучка. Подставляя эти параметры в выражение (1.88), находим поле пучка в сечении, к которому отнесена матрица ABCD. Поле
62
Гл. 1. Оптика гауссовых пучков
пучка в прилегающих областях, свободных от оптических элементов, также легко находится. Для этого величины z — Z{ в (1.88) нужно представить в виде z — Zi = z — zo + (i (zo — координата реперного сечения). Таким образом, соотношения (1.110) полностью определяют параметры ? и b лазерного резонатора, как содержащего, так и не содержащего гауссовы диафрагмы.
Рассмотрим простой пример расчета резонатора, содержащего гауссову диафрагму. Пусть в полуконфокальном резонаторе (R = 2L) вблизи плоского зеркала расположена гауссова диафрагма так, что лазерный пучок проходит ее дважды. При реперной плоскости, расположенной перед гауссовой диафрагмой, резонатор описывается матрицей
"=ц- !)(J :)(i 3 = (-k »?/г)-
Отсюда для параметра q получаем выражение
q = iL(a ± л/l + а2) = ±iLe±3< (а = L/F' = shx).
Поскольку Reg = 0, то перетяжка моды расположена как раз в реперном сечении. Для пучка, бегущего от гауссовой диафрагмы, следует выбрать нижний знак (см. с. 42), его поперечный радиус в реперном сечении равен
Wpen = Vk~1Le~x.
Для определения параметра b воспользуемся вторым из соотношений (1.110):
b = TL\/l + а2.
Как видим, параметр b не совпадает с мнимой частью q. Таким образом, для пучка, бегущего от гауссовой диафрагмы к сферическому зеркалу, параметр q равен
q = z — z — ib,
где
z = —iaL.
Зная комплексные параметры b и z, можно построить, согласно (1.88), поле комплексного эрмит-гауссова пучка, являющегося модой рассматриваемого резонатора.
Обсудим физический смысл особенностей, которыми обладает комплексный эрмит-гауссов пучок, т. е. пучок (1.88) с комплексным параметром b по сравнению с тем же пучком (1.88), но с вещественным параметром Ь. При вещественном b поперечное распределение поля, описываемое функцией параболического цилиндра, в (1.91), можно рассматривать, как стоячую волну в пространстве между каустиками. Для стоячей волны характерно обращение поля в нуль в ее узлах.
1.7. Эрмит-гауссов пучок и высшие моды лазерного резонатора 63
Однако могут быть волны более сложного характера, являющиеся суперпозицией стоячей и бегущей волны, тогда наличие бегущей компоненты делает невозможным обращение поля в нуль в тех или иных стационарных точках. Такие волны возникают, например, в тех случаях, когда имеется разное поглощение в разных точках, и в волне происходит перераспределение запасенной энергии. Нетрудно понять, что именно это происходит в пучке при комплексном Ъ. Действительно, такой пучок, как показано выше, тесно связан с наличием в резонаторе гауссовой диафрагмы, в которой поглощение на ее периферии более интенсивно, чем в центре. Поэтому необходимо перераспределение энергии в поперечном направлении, что и приводит к бегущей составляющей в функции параболического цилиндра и исчезновению стационарных нулей в поперечном распределении. Разумеется, сказанное следует понимать с учетом того, что волна не просто синусоидальная или косинусоидальная, а описывается функциями параболического цилиндра, и это несколько усложняет картину.
Отметим также, что у комплексного эрмит-гауссова пучка в поперечном распределении нет тех характерных точек, определяемых условием (1.90), в которых зависимость поля от поперечной координаты изменяет свой характер и из осциллирующей становится экспоненциально затухающей. Поэтому соотношения (1.96) лишь приближенно определяют их поперечный размер в тех случаях, когда воздействие гауссовой диафрагмы на пучок не слишком велико.
Для комплексного эрмит-гауссова пучка понятие о волновом фронте, как о поверхности постоянной фазы, в значительной степени теряет свой простой смысл. Усложнение этого понятия можно продемонстрировать на примере плоских частично бегущих волны. Действительно, рассмотрим волну вида
и(г) = _ (1.111)
Если Р = 0, то это плоская волна, бегущая в направлении к (рис. 1.15), с плоским волновым фронтом, перпендикулярным к. Если /3 = 1, то
и(г) = 2ielkzZ sinkxx
и волновой фронт этой волны (поверхность постоянной фазы) есть плоскость, перпендикулярная оси z (рис. 1.15).
Рис. 1.15. Волновой фронт волны, частично бегущей и частично стоячей в ж-направлении
64
Гл. 1. Оптика гауссовых пучков
Рассматривая случай промежуточных /3 (0 < /3 < 1) нетрудно представить, как происходит переход от одного фронта к другому. Модуль М и фаза ср волны (1.111) определяется равенствами
М2(ж, z) — 1 + /З2 — 2/3 cos kxx,
, ч sin(kxx + kzz) + /3sin(kxx - kzz) h 110n
(fix, z) = arctg —7-------—(—^-----7------:-т . (1.112)
cos(kxx + kzz) — p cos(kxx — kzz)
Рассмотрим поверхность нулевой фазы. Она, согласно (1.112), определяется условием ip(x,z) = 0, или
(1 + Р) tgkxx = -(1 - /3)tgkzz.
При /3 = 0 имеем уравнение фронта
kxx + kzz = О
и модуль волны постоянен вдоль фронта (М2 = 1). При малых /3
