Релятивистская квантовая теория. Том 2. Релятивистские квантовые поля - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
оговорки, сделанные в § 65. Весьма вероятно, что в том случае, когда
пространство нелокально и зернисто на малых расстояниях, описанный здесь
канонический
') В дальнейшем мы всегда будем подразумевать, что S есть функционал,
зависящий только от полей и их производных. Кроме того, S не будет явно
зависеть от пространственно-временных координат. Это означает, что мы
рассматриваем только "замкнутые" системы, т. е. такие системы, которые не
обмениваются энергией и импульсом с внешними источниками.
КАНОНИЧЕСКИЙ ФОРМАЛИЗМ И КВАНТОВАНИЕ ПОЛЕЙ
23
формализм применим только на больших расстояниях в духе принципа
соответствия.
В любом случае выбор конкретной формы лагранжиана определяется видом
полевого уравнения, которое мы рассматриваем. Плотность лагранжиана вида
(11.27) выбрана так, чтобы она приводила к уравнению Клейна - Гордона;
другими интересующими нас примерами являются лагранжианы Дирака и
Максвелла. Для системы, описываемой более чем одним независимым полем,
скажем, набором полей фг(х), г = 1, ..., п, мы получаем п уравнений
дЗ? д дЗ? л " . 0(Т.
дцг дхv д (д<рг1дх") ~~ ' г ->•••> п>
которые выводятся из принципа Гамильтона независимой вариацией по каждому
из полей.
Возвращаясь теперь к каноническому формализму и квантованию, мы, как и в
механике частиц, используем для определения канонического импульса
лагранжиан S. Чтобы выявить полную аналогию между теорией поля и теорией
частиц, мы рассмотрим поле как систему с конечным числом степеней
свободы, разбив трехмерное пространство на ячейки объема ДК,- и определив
i-ю координату ф;(^) как среднее значение ф(х) в i-и ячейке
Фг (0 дут J <Рх ф (х, О-
' (&vt)
Обозначив фДО среднее значение d<p(x,t)/dt в i-и ячейке, перепишем
лагранжиан в виде
L = J <Рх 2 - ? AF Д. (ф. (О, ф(. (О, Фг±5(0, • • • )• 01.31)
i
Различные фг отвечают независимым степеням свободы, кроме того, фг+5(0
содержит координаты Si, отвечающие соседним ячейкам, поскольку для
вычисления градиента Уф необходимо вычислять соответствующие разности.
Так как каждый член Si содержит только одну производную по времени ф.(0,
канонические импульсы равны просто
'''(') = ^ = 4Г,^г-ДГ,я,(0. (11.32)
Тогда, согласно (11.4), гамильтониан равен
Н=Ир№ - L= ? AV i (я/ф,- - S{). (11.33)
? i
24 ОБЩИЙ ФОРМАЛИЗМ [ГЛ. и
Возвращаясь к непрерывным обозначениям, определим импульс, сопряженный ф
(х, t), соотношением
"<*''>=1геНг- <ц-34>
Усредняя этот импульс по г-й ячейке, получим как раз ni(t) в формуле
(11.32). Гамильтониан теперь записывается в виде объемного интеграла от
гамильтоновой плотности Ж {я, ф), которая выбирается, как подсказывает
нам равенство (11.33), в виде
Н = ^ d3x Ж (я (х, (), ф (х, /)), Ж = яф - 3?. (11.35)
Определив канонические импульсы, мы следуем далее обычной процедуре
квантования, заменяя динамические переменные Ф;(0> Pi(t) эрмитовыми
операторами с коммутационными соотношениями вида (11.24)
[ф< (О, Ф/ (01 = [Pi (*), Pi (О] = 0, [pi (t), фу (0] = - ibti
или в терминах я1 (t)
[я. (0, Ф/ (01 = - -^rr •
На языке непрерывных обозначений эти соотношения приобретают вид
[ф (х, t), ф (*', 0] = (я (х, t), я (х', 0] = 0,
[я (х, t), ф (ж', i)] = - гб3 (дг - х'),
где дираковская б-функция возникает как предел б/у/ДУ,- при Д1Л->0 в
соответствии с определением
^ d3x' б3 (х - х') f (х') - f(x).
Уравнения (11.34) - (11.36) вместе с уравнениями движения представляют
основу канонической квантовой теории поля. Обобщение для физической
системы, описываемой несколькими независимыми полями фг(д:,t),
получается, если ввести импульсы, сопряженные каждому полю,
"'<*."=вфдЬ) <1L37>
и плотность гамильтониана
Ж (яг, ..., фг ...) - Yu ягфг - S?. (11.38)
'¦*1
Коммутаторы, необходимые для квантования, имеют вид:
[фг (х, /), ф8 (х , t)\ = 0, [itr (х, t), (ж , ^)] = О,
[яг (х, I), ф5 (х', 0] = - i&rs&3 (х - х')г
§6S) ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СИММЕТРИИ И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ 25
Наконец, чтобы закончить наше полное аналогий сопоставление механики
частиц и квантовой теории поля, укажем, что из
(11.37) - (11.39) следует, что аналог (11.25) есть
nr(x,t)~i[H,nr(xtt)], фг (х, t) = i [Н, фг (х, ()]. (11.40)
§ 68. Преобразования симметрии и законы сохранения
Лагранжева формулировка очень удобна для последовательного определения
констант движения в классической теории поля, а также при выводе явных
выражений для этих констант. Исходя из скалярного лагранжиана, можно
показать, что каждому непрерывному преобразованию симметрии, оставляющему
инвариантными плотность лагранжиана ? и уравнения движения, отвечает
некоторая теорема сохранения и константа движения. Соответствующая
теорема1) (теорема Нетер), позволяющая описывать наблюдаемые в природе
правила отбора в терминах условий симметрии, налагаемых на лагранжиан,
оказывается весьма полезной при конструировании новых лагранжианов со
взаимодействием. Мы рассмотрим поэтому, как эта теорема работает в
квантовой теории поля.
Рассмотрим вначале законы сохранения, связанные с трансляционной
