Релятивистская квантовая теория. Том 2. Релятивистские квантовые поля - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
уничтожения она с самого начала есть задача многих тел. В настоящее время
известно только, как построить приближенное решение этой задачи, поэтому
предсказания любой теории подобного рода неполны и в лучшем случае не
лишены неопределенностей.
В этой ситуации самое разумное - это сохранить при построении новой
теории те общие принципы, которые ранее применялись для более
ограниченного класса задач. В этом случае для формулировки правил
квантования мы должны исходить из существования гамильтониана Н.
Поскольку Н генерирует, согласно уравнению Шредингера, бесконечно малые
временные смещения, мы приходим к дифференциальному описанию
12
ОБЩИЙ ФОРМАЛИЗМ
[ГЛ. 11
временной зависимости, а тогда инвариантность относительно лоренцевых
преобразований требует, чтобы координатная зависимость также описывалась
дифференциальным образом. В нелокальной, "зернистой" теории гамильтониан
может и не существовать; если это так, то теряется связь с методом
квантования в нерелятивистских теориях.
Допуская лоренц-инвариантное микроскопическое описание в терминах
непрерывных переменных х и t, следует ожидать, что влияние взаимодействия
в пространстве-времени не может распространяться со скоростью, большей с.
Такое представление о "микропричинности" является серьезным аргументом в
пользу полевой концепции. Если пространство на малых расстояниях
зернисто, и мы хотим сохранить микропричинность, то воздействие одной
"гранулы" на другую должно быть запаздывающим. Наиболее естественно это
обстоятельство можно было бы описать, вводя дополнительные поля; в
результате наша задача еще более усложнилась бы, не став от этого
сколько-нибудь яснее.
В настоящее время не существует никаких экспериментальных доказательств
дискретности пространства при малых расстояниях1). Под этим понимается
только то, что имеются несомненные указания на применимость специальной
теории относительности при высоких энергиях и, если угодно, на
справедливость принципа микропричинности2). Поскольку не существует
сколько-нибудь приемлемой альтернативной теории, мы ограничимся в
дальнейшем формализмом локальных причинных полей. Любая модифицированная
теория, без сомнения, должна содержать теорию локального поля как предел
для описания больших расстояний. Тем не менее еще раз подчеркнем, что
рассматриваемый формализм пригоден лишь в пределе больших расстояний
(например, расстояний, больших 10~13 см), в то время как истинные
свойства физического мира на субмикроскопи-ческих расстояниях могут быть
совсем иными.
§ 66. Канонический формализм и квантование для частиц
Мы начнем с напоминания обычного способа квантования классической
динамической системы в квантовой механике. Для иллюстрации рассмотрим
частицу, совершающую одномерное движение в консервативном поле сил. Пусть
q - обобщенная
¦) В квантовой электродинамике согласие между теорией и экспериментом
проверено с большой точностью, как в низко- так и в высокоэнергетической
области (см., например, [1-4]).
2) Под этим мы понимаем экспериментальную проверку дисперсионных
соотношений для пион-нуклонного рассеяния вперед, которые мы рассмотрим в
гл. 18.
КАНОНИЧЕСКИЙ формализм и квантование для частиц
13
координата, q =^f - скорость частицы, L(q, q) - лагранжиан.
Согласно принципу Гамильтона динамика системы определяется из условия
Ы--
12
: б ^ L(q, q) dt = 0.
Уравнение (11.1) означает, что истинная траектория q{t), по которой
частица движется от (qlt ti) до (^2, h), обладает тем свойством, что
вдоль нее действие } стационарно. Таким образом, малые вариации этой
траектории q(t) q(/) + 6q(t), показанные на рис. 11.1, оставляют действие
неизменным с точностью до членов второго порядка малости.
Принцип Гамильтона непосредственно приводит к уравнениям движения в форме
Эйлера - Лагранжа ')
d
dt
dL
dq
dL
dq
¦ 0. (11.2)
Чтобы применить каноническую процедуру квантования, перепишем это
уравнение в гамильтоновом виде. Для этого женный <7,
Р =
Рис. 11.1. Допустимая вариация траектории с фиксированными концами,
рассматриваемая при формулировке принципа действия.
определим импульс р, сопря-
dL
dq
(11.3)
и введем с помощью преобразования Лежандра гамильтониан H(p,q) = pq -
L{q,q). (11.4)
В терминах Н уравнение движения (11.2) приобретает следую-
щий вид:
{Н, q)
РВ
dH
dp
= q и {Н,р}рв =
dH
dq
(11.5)
где символ { }рв означает скобки Пуассона.
При квантовании уравнений (11.5) мы будем считать, что q является
эрмитовым оператором, действующим в гильбертовом
') См. [5]. Уравнение (11.2) справедливо в том случае, когда L не
содержит производных выше первого порядка,
14
ОБЩИЙ ФОРМАЛИЗМ
[ГЛ. и
. д ..
пространстве, и заменим р на при этом сопряженный
импульс и координата удовлетворяют коммутационному соотношению
[p,q] = - i, (11.6)
которое заменяет классические скобки Пуассона {р, <?}рв=1-По определению
р также является эрмитовым оператором. Динамика частицы содержится в
уравнении Шредингера
H(p,q)^{t) = i^l, (11.7)
