Релятивистская квантовая теория. Том 2. Релятивистские квантовые поля - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
где Ч? означает волновую функцию или вектор состояния в гильбертовом
пространстве. Если задать начальное состояние Ч1- в произвольный момент
времени, скажем, t = 0, то уравнение Шредингера определит состояние и,
следовательно, средние значения, имеющие физический смысл, в любой другой
момент времени.
Такое описание изменения состояния частицы во времени, когда от времени
зависит волновая функция Чг, а операторы р и q постоянны, называется
представлением Шредингера. Можно, однако, описывать временную эволюцию
системы и по-другому, а именно, считать, что от времени зависит не вектор
Чг, а операторы p(t) и q(t). Это описание известно как гейзенберговское
представление. Оба представления эквивалентны, что может быть формально
продемонстрировано построением унитарного преобразования, связывающего
одно представление с другим. Действительно, интегрируя уравнение
Шредингера (11.7), получаем
vPs(0==e-'/mirs(0) = *_i/f%r- (11.8)
В случае эрмитового гамильтониана Н оператор е~т унитарен и описывает
изменение во времени функции Ч^О- В момент времени t = 0 вектор ''Fs
совпадает с гейзенберговским вектором состояния 4rw = 4;s(0). Не
зависящие от времени операторы Os связаны с зависящими от времени
гейзенберговскими операторами соотношением
Он (0 = е1т03е~т, (11.9)
причем унитарное преобразование (11.9) не меняет вида матричных элементов
и тем самым физических наблюдаемых.
В квантовой теории решение динамической задачи заключается в нахождении
матричных элементов операторов, которые сопоставляются физическим
наблюдаемым, в произвольный момент времени, если эти матричные элементы
заданы в некоторый предшествующий момент времени, скажем t - 0. В
представлении Шредингера для этого нужно решить уравнение
канонический формализм и квантование для частиц
!5
(11.7), описывающее изменение во времени волновой функции. В
представлении же Гейзенберга нужно решить уравнения движения, описывающие
развитие во времени гейзенберговских операторов. Эти уравнения, согласно
(11.9), имеют вид1) dO" (t)
-Л1±=1[Н,Он{Щ. (11.10)
До тех пор, пока мы имеем дело с нерелятивистской теорией, указанные два
подхода почти совпадают. Действительно, в силу
(11.9) HH(t) - Hs = Н, и если зависящие от времени внешние силы
отсутствуют, то из уравнения (11.10) следует, что dH/dt - = 0. Тогда в
представлении Шредингера мы получаем для собственных функций оператора
энергии ф"(<7, t) - e~mntun(q), а соответствующий вектор состояния в
представлении Гейзенберга есть un(q).
Мы увидим, однако, что в релятивистской теории поля более удобен
гейзенберговский подход. Это объясняется тем, что в релятивистском случае
неудобно работать с явным видом вектора состояния Д и гораздо легче
описать развитие во времени операторов, нежели вектора состояния. Кроме
того, лоренцева инвариантность теории в представлении Гейзенберга более
наглядно прослеживается, поскольку в этом представлении полевые операторы
зависят, наряду с пространственными координатами, также и от времени.
Из уравнений (11.6) и (11.9) следует, что фундаментальное коммутационное
соотношение сохраняет свой вид
\p{t),q{t)] = ~i (11.11)
для произвольного времени /, и мы можем написать
и q{f) = i-ah)'
Таким образом, уравнениям (11.10), записанным для канонических координат
и импульсов
-Pjp- = i [Н, р (/)], ^JP- = i[H,q(t)], (11.12)
можно придать вид классических уравнений движения, записанных, однако,
уже для операторов
dp (0 __ дН dq (t) __ дН dt dq (t) ' dt dp (t)
') Для операторов, явно зависящих от времени, имеем вместо (11.10) dOH
(I) ^ дОн
16
ОБЩИЙ ФОРМАЛИЗМ
[ГЛ. И
Такая формулировка квантоводинамической задачи очень напоминает исходную
классическую постановку задачи. В дальнейшем мы будем часто обращаться к
классическим уравнениям и брать их за образец при построении квантовой
теории. Динамические переменные p{t) и q(t) в квантовой механике являются
эрмитовыми операторами, которые удовлетворяют уравнениям, в точности
совпадающим с классическими уравнениями (11.5). Для того чтобы полностью
определить задачу, мы должны еще задать матричные элементы операторов р и
q в некоторый начальный момент времени. При этом начальные условия для
р(0) и ^(0) должны быть дополнены требованием, чтобы соотношения
коммутации (11.11) при t = 0 выполнялись для любого физического
состояния. Поскольку мы постулируем, что физические состояния системы,
например состояния с фиксированной энергией, образуют полный набор,
условие коммутации при t = 0 можно рассматривать как операторные
уравнения вида (11.11).
В качестве примера мы проквантуем простой одномерный гармонический
оператор в гейзенберговском представлении. В этом случае гамильтониан
равен
Я-'/2(р2 + (r)2(?2), (11.13)
и уравнения движения имеют вид
= <7-f (c)2*7 = 0.
Для того чтобы решить эти уравнения, введем удобные линейные комбинации:
а=д/i (a°q+ip^ а+=л/i ^ ~ip^ (11Л4)
для которых уравнения движения есть
а (t) = - т0а (t), а+ (/) = + iw0a+ (/).
