Пространство-время, геометрия, космология. - Бёрке У.
Скачать (прямая ссылка):
= -a'b' + ахЬ*+________(23-22) 23. Пространство Минковского
181
Геометрия пространства-времени специальной теории относи- Волновое уравнение тельности тесно связана со структурой волнового уравнения
Рф = д*ф Q3i23J
dt2 дх2
Введение метрического тензора позволяет записать соответствующее этому уравнению дисперсионное уравнение
W2 = к2. (23.24)
Для метрического тензора JV существует обратный тензор JV~1, который имеет вид
Ж'1 = -— ® — + — в А . (23.25)
dt dt dx dx
Доказательство
Возьмем произвольный вектор
а = uTt + vT- • <23-26)
Ot дх
Тогда можно написать
Ж
{"ft + V~t) = ~udt + v dx, (23.27)
следовательно,
Jf~x ¦ {-и dt+ vdx) =
д , д
~ "Tt + vTx' (23-28>
Таким образом, тензор JV 1 действительно представляет собой тензор, обратный тензору JV.
Используя тензор JV1, мы можем записать дисперсионное уравнение (23.24) в виде
Ж~1 ¦ {dB, dd) = 0. (23.29) Дисперсионное уравнение
Уравнение (23.29) устанавливает связь между метрическим тензором JV специальной теории относительности и волновым уравнением. Можно также показать, что вектор групповой ско- 182
Гл. II. Геометрия
[Отложим доказательство этого равенства до разд. 27.]
Электромагнетизм
Доплеровское смещение
[См. рис. 13.5.]
X"
Рис. 23.3
рости а и градиент фазы dB связаны соотношением
<г =JT-1-de.
(23.30)
Для случаев двух и трех пространственных измерений это соотношение графически представлено соответственно на рис. 23.3 и 23.4.
Волновое уравнение, использумое в электродинамике, представляет собой обобщение приведенного выше скалярного уравнения на случай векторного поля. Соответствующее ему дисперсионное уравнение имеет тот же самый вид. Поэтому все сказанное выше применимо и к световым волнам. В однородном пространстве-времени специальной теории относительности распространение волны не сопровождается изменением ее частоты ы и волнового числа к. Однако, исходя из вышеизложенного, нетрудно понять, как возникает эффект допле-ровского сдвига (см. разд. 13).
Конфигурация гребней волн определяется 1-формой гради- • ента фазы de. Наблюдаемая частота — это скорость, с которой гребни волн проходят мимо данного наблюдателя (рис. 23.5). Для наблюдателя с 4-скоростью \ эта частота дается выражением (dd ¦ \)/2ж, а отношение частот для двух наблюдателей, движущихся с различными скоростями, имеет вид
Используя равенство
de-к dd-к'
de = Ж-а,
(23.31)
(23.32)
Рис. 23.4 23. Пространство Минковского
183
\
N
Рис. 23.5
обратное равенству (23.30), для отношения частот получаем Ж - (<Г,к) _ QT-X
Л-
¦к'
(23.33)
(o-,X')
Таким образом, мы пришли к нашему старому выражению.
Мы осуществили нашу программу и разработали математический аппарат, который описывает различные хроноструктуры. В общем случае они описываются дисперсионными уравнениями. В более простых случаях можно ввести тензоры и построить более изящные теории. Именно так мы действовали при рассмотрении специальной теории относительности и соответствующего волнового уравнения. Четырехмерное векторное пространство, наделенное метрикой JV, называется пространством Минковского.
[Обратите внимание, что в правой части этого равенства точка обозначает четырехмерное скалярное произведение.]
ЗАДАЧА
23.1. (31) Один из возможных способов построения гиперболы изображен на рис. 23.6. Проведем окружность и возьмем некоторую точку P вне нее. Проведем прямую из точки P до пересечения с окружностью, а через точку пересечения проведем прямую L, перпендикулярную исходной прямой. Как показано 184
Гл. II. Геометрия
на рис. 23.7, все такие линии L будут касательными к гипербо-[Как ни удивительно, с построе- ле> т. е. гипербола является огибающей нашего семейства пря-нием огибающих мы сталкива- мых. Будем рассматривать эту гиперболу как изображающую емся чрезвычайно часто.] метрический тензор Jr пространства Минковского, а линии
L — как изображения 1-форм. Покажите, что описанная процедура действительно приводит к нужному результату.
24. Индексные обозначения
Такие люди, как Фарадей, интуитивно чувствовали, что такое вектор. Они могли ничего не знать о правилах действия с ними, но если они думали о векторах, они представляли их себе как векторы, т. е. как направленные величины. Ни один такой человек не мог, да и не стал бы представлять себе три компоненты вектора по отдельности и как не связанные друг с другом.
О. Хевисайд
До сих пор мы поступали в духе приведенного в эпиграфе высказывания и всячески подчеркивали внутренние геометрические свойства тензоров. Определение тензоров как линейных 24. Индексные обозначения
185
операторов и полученные нами графические представления не зависели от выбора системы координат. Однако при выполнении конкретных расчетов и доказательств часто более эффективными оказываются индексные обозначения, основанные на координатном представлении. Мы начали с изучения внутренних свойств тензоров с тем, чтобы впоследствии не путать свойства представления, такие, как ковариантность, со свойствами самих тензоров. В старых учебниках по тензорному анализу основное внимание уделялось трансформационным свойствам тензоров. Эти свойства будут играть определенную роль при обсуждении свойств симметрии волн на воде в разд. 28, но для нас они имеют второстепенное значение.
