Пространство-время, геометрия, космология. - Бёрке У.
Скачать (прямая ссылка):
Утраченная структура
[Здесь вы можете вернуться назад и просмотреть обсуждение проблемы ковариантности в разд. 3 и 4.]
Представление и определение 202
Гл. II. Геометрия
1
J
Карты
[Для наших целей достаточно обычного определения открытого и замкнутого множеств. Можно было бы воспользоваться топологическими определениями открытого множества, но соответствующие достаточно экзотические ситуации редко встречаются.]
Размерность
Рис. 26.1
Две перекрывающиеся карты, заданные иа многообразии М.
таких карт. Как правило, одна карта не может покрыть всего многообразия. Каждая карта наделяет соответствующую часть многообразия координатами. Там, где карты перекрываются, преобразование от одной системы координат к другой должно быть гладким и иметь гладкое обратное преобразование. Каждая точка многообразия должна отображаться хотя бы одной картой. Все карты осуществляют отображение в пространство IRn одной и той же размерности п; число я называется размерностью многообразия. Указанные ограничения приводят к тому, что в окрестности любой точки многообразие ведет себя как обычное пространство IRn.
Пример 2
Окружность, т. е. множество принадлежащих IR2 точек, таких, что
представляет собой одномерное многообразие. Для окружности картами должны быть отображения в IR. В качестве карт можно выбрать отображения
JC2 + /= 1,
(26.1)
(26.2)
для всех точек окружности, за исключением точки с координа- 26. Многообразия
203
тами (0,-1) и
GcoO
+ у
(26.3)
для всех точек, кроме точки (0,1) (рис. 26.2 и 26.3). И в том, и в другом случае отображение осуществляется на всю действительную прямую, которая является открытым множеством. При X Ф 0 карты перекрываются, причем преобразование от координаты V к координате и осуществляется посредством гладкой функции
4
и = —
V
(26.4)
Таким образом, каждая точка окружности отображается какой-нибудь картой; окружность представляет собой многообразие.
Рис. 26.2
Одна карта для окружности.
Пример 3
Почему обычный полярный угол в не определяет карту многообразия в строгом смысле? Чтобы каждая точка покрывалась картой не более одного раза, мы должны ограничить область изменения угла в интервалом 0 ^ в ^ 2ж. Но это замкнутое множество. Если ограничиться открытым интервалом 0 < в < 2ж, то одна точка окажется непокрытой. Таким образом, сформулированные выше требования не выполняются.
Такие неувязки возникают в тех случаях, когда мы не следуем сформулированным правилам. В нашем случае функция / = в не является однозначной функцией на окружности, хотя является таковой на б-карте.
Рис. 26.3
Другая карта для окружности.
Неполные карты типа рассмотренной в примере 3 бесполезны, если мы хотим доказать, что данное множество представляет собой многообразие. Однако если такая карта определена, то она служит в высшей степени полезным представлением многообразия; необходимо лишь помнить, что часть точек не отображена должным образом. Многообразия, которые используются в космологии и в общей теории относительности, почти всегда представляются такими неполными картами.
Неполные карты
[Использование таких неполных карт освещено в разд. 38.]
Пример 4
Множество точек IR2, которое определяется соотношением
ху = 0 (26.5)
Контрпример 204
Гл. II. Геометрия
[Эти замечания можно пропустить, если вы не знакомы с топологическим представлением об открытых множествах, которые можно задавать произвольно в рамках определенных постулатов.]
(рис. 26.4), не является многообразием. В этом виновата точка (0,0). Невозможно построить гладкое взаимнооднозначное отображение открытой окрестности этой точки на открытое множество точек, принадлежащих действительной прямой. Открытое множество, содержащее точку (0,0), дается соотношениями
а < X < Ь,
с < у < (I,
а <0 < Ь, с < 0 < d.
(26.6)
Если мы честно отобразим точки оси х, то не останется места для точек, лежащих на оси у, и наоборот.
С другой стороны, нельзя считать открытыми множества
а < X < Ь,
у = 0 (267)
с < у < d,
х = 0,
(26.8)
Рис. 26.4
Пример множества, которое не является многообразием. Попытка иайти взаимооднозначное отображение терпит неудачу.
[Вспомните обсуждение операции сложения касательных кривых, данное на стр. 134.]
так как пересечение открытых множеств, в нашем случае точка (0,0), также должно быть открытым множеством. Но если назвать точку (0,0) открытым множеством, то мы не сможем взаимнооднозначно отобразить ее на открытое множество в (R, где отдельная точка является замкнутым множеством.
Важнейшие понятия кривых, функций, касательных векторов и 1-форм были определены таким образом, что они полностью сохраняют свой смысл и на многообразиях.
Пример S
Предположим, что мы пытаемся проводить вычисления на множестве, которое определено в примере 4. Для линий, проходящих через точку (0,0), мы можем найти локальную линейную аппроксимацию. Однако соответствующие касательные векторы нельзя складывать. Они не образуют векторное пространство.
