Пространство-время, геометрия, космология. - Бёрке У.
Скачать (прямая ссылка):
173
новое векторное пространство. Правила умножения на число и сложения для тензорных произведений отличаются от соответствующих правил для декартова произведения, приведенных в предыдущем разделе. Умножение на число и сложение удовлетворяют следующим правилам:
к(ы ® v) = (кы) ® V = to ® (Ь), (22.10)
w® (а + ?) = ш ® а + (о ® ?. (22.11)
Они вытекают из требования линейности и введенных выше определений.
Пример
Чтобы вывести закон умножения на число, заметим, что в соответствии с условием линейности должно выполняться равенство
Эти правила делают ненужным употребление скобок во многих приведенных выше выражениях.
Теперь мы в состоянии построить базис для любого тензор- Координатный базис ного пространства. В случае двух измерений, когда базис пространства ковекторов состоит из двух элементов dx и dy, базис пространства V* ® V* образуется четырьмя тензорами:
[к(ы ® р) ¦ (а, Ь) = к[_ы ® V • \а, Ь)], (22.12)
откуда, согласно нашему определению, имеем
= *[(«• в) (*•*)] = = (кш -a) (Vb) = = (ш • a) (kv ¦ Ь).
(22.13)
dx ® dx, dx ® dy, dy ® dx, dy ® dy.
(22.14)
Пространство V ® V* имеет следующий базнс:
(22.15) 174
Гл. II. Геометрия
[Симметричными называются тензоры, для которых справедливо равенство (21.15).]
и т. д. Базис подпространства симметричных тензоров, принадлежащих пространству У* ® У*, состоит из трех элементов
dx ® dx, dx ® dy + dy ® dx, dy ® dy.
(22.16)
Подпространство антисимметричных тензоров пространства К* ® У* одномерно; соответствующий базисный вектор имеет вид
dx® dy ~ dy ® dx. (22.17)
[Этот пример показывает, каким образом графические построения можно описать алгебраически.]
Рис. 22.1
[По поводу симметричности тензора if в форме (22.18.) см. задачу 22.10.]
Пример
Убедимся, что метрический тензор евклидова пространства можно записать в рассматриваемом базисе в виде
% = dx ® dx + dy ® dy.
(22.18)
По построению это, очевидно, линейный оператор. Мы должны показать, что он эквивалентен графическому представлению, которое приводилось выше. Прежде всего заметим, что вектор
b — cos в + sin в
дХ ду
(22.19)
лежит на единичной окружности для любых значений параметра в. Заметим также, что вектор
b± = —sin в — + cos в
дХ
ду
(22.20)
перпендикулярен вектору Ь. Линия уровня 1-формы ? совпадает с касательной к окружности в точке Ъ, если выполняются равенства (рис. 22.1).
?-b= 1, (22.21) ? ¦ bx = 0. (22.22) Эти требования определяют ? однозначно:
? = cos в dx + sin в dy. (22.23)
Теперь возьмем произвольный вектор а, лежащий вдоль оси X. Благодаря симметрии задачи это возможно всегда. Пока- 22. Базисные векторы и тензорное произведение
175
жем, что описанный в разд. 21 графический способ построения 1-формы по заданному вектору а согласуется с результатом выполнения операции <f ¦ а. Пусть
д
а = к
дх'
(22.24)
Если мы выберем в таким образом, что
к cos 0=1, то интересующие нас 1-формы примут вид ?± = cos 0 dx ± sin 0 dy.
(22.25)
(22.26)
(22.27)
Они касаются единичной окружности в точках с радиус-векторами
і л д . . Л д
Ъ+ = COS 0 —±sin 0—,
дХ ду
[Сокращенное обозначение для операции частичного свертывания было введено на стр. 165.]
где к ^ 1.
При графическом построении мы должны провести из конца вектора а касательные к единичной окружности. Эти касательные можно рассматривать как линии единичного уровня для двух 1-форм ?±, имеющих вид (22.23), для которых справедливо равенство
?± ¦ а = 1.
(22.28)
как изображено на рис. 22.2. Наконец, построим 1-форму а, та-
Рис. 22.2 176
Гл. II. Геометрия
кую, что
а ¦ Ь± = \. (22.29)
Сделаем это так, как показано на рис. 22.3. Если взять а в виде
a = kdx, (22.30)
то мы, очевидно, получим
а -Ь± = к cos 0= 1. (22.31)
Таким образом, наше графическое построение осуществляет отображение
к4~ >-> kdx. (22.32)
дХ
Алгебраический расчет дает
W • a = (dx ® dx + dy ® dy) ¦ к=
дХ
д д = dx® dx - к— + dy ® dy- к— =
дХ дХ
= k(dx-±)dx + k(dy.?)dy = = kdx.
Полученный результат совпадает с (22.32).
Часто используют сокращенную форму записи для метрических тензоров, т. е. симметричных тензоров, принадлежащих пространству V* ® V*, при которой знак ® опускается. Метрику евклидова пространства записывают в виде
% = dx2 + dy2, (22.34)
понимая под этим, что
W = dx ® dx + dy ® dy. (22.35)
Определенные в настоящем разделе тензоры могут действовать не только на пары векторов, но и на тензоры. Это станет ясно, когда мы рассмотрим следующий пример.
(22.33)
Пример
® T-) = dx ® dx-(2|-0 т) + 0 =
V дХ дХ/ V дх дХ/ 23. Пространство Минковского
JT
дХ,
)
= 2.
(22.36)
ЗАДАЧИ
22.1. (7) Изобразите графически тензор
d'x ® dx + 2 dy ® dy.
22.2. (10) Изобразите графически тензор
dx ® dy + dy ® dx.
22.3. (13) Найдите результат свертывания & ¦ (д/дх) и Щд/ду), если тензор ^имеет вид
22.4. (14) Найдите тензор, обратный приведенному выше тензору.
